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“212”压轴满分练(三)1已知函数f(x)2kln xkx，若x2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是()A.B C(0,2 D2，)解析：选A由题意可得f(x)，x0，令f(x)0，得x2或exkx2(x0)，由x2是函数f(x)的唯一极值点知exkx2(x0)恒成立或exkx2(x0)恒成立，由yex(x0)和ykx2(x0)的图象可知，只能是exkx2(x0)恒成立法一：由x0知，exkx2，则k，设g(x)，则kg(x)min.由g(x)，得当x2时，g(x)0，g(x)单调递增；当0x2，g(x)0)恒成立，则yex(x0)的图象在ykx2(x0)的图象的上方(含相切)，若k0，易知满足题意；若k0，设yex(x0)与ykx2(x0)的图象在点(x0，y0)处有相同的切线，则解得数形结合可知，0k.综上，k的取值范围是(，0.2定义“有增有减”数列an如下：tN*，atas1.已知“有增有减”数列an共4项，若aix，y，z(i1,2,3,4)，且xy0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，EAB90.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为1，试问直线QR是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由解：(1)连接AF，EF，由题意及抛物线的定义，得|AF|EF|AE|4，即AEF是边长为4的正三角形，所以FAE60，设准线l与x轴交于点D，在RtADF中，FAD30，所以p|DF|AF|42.(2)由题意知直线QR的斜率不为0，设直线QR的方程为xmyt，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)由得y24my4t0，则16m216t0，y1y24m，y1y24t.又点P，Q在抛物线C上，所以kPQ，同理可得kPR.因为kPQkPR1，所以1，则t3m.由解得m(1，)，所以直线QR的方程为xm(y3)，则直线QR过定点.5已知函数f(x)e2x(x3ax4xcos x1)，g(x)exm(x1)(1)当m1时，求函数g(x)的极值；(2)若a，证明：当x(0,1)时，f(x)x1.解：(1)由题意可知g(x)exm，当m1时，由g(x)0得xln m，由xln m得g(x)0，g(x)单调递增；由xln m得g(x)x1，即证x3ax4xcos x1.由(1)得，当m1时，g(x)ex(x1)0，即exx1，所以e2x(x1)2，所以x3ax4xcos x1x3ax4xcos xx，令h(x)x24cos xa，则h(x)2x4sin x，令I(x)2x4sin x，则I(x)24cos x2(12cos x)，当x(0,1)时，cos xcos 1cos，所以12cos x0，所以I(x)0，所以I(x)在(0,1)上为减函数，所以当x(0,1)时，I(x)I(0)0，h(x)h(1)a4cos 1，因为4cos 14cos2，而a，所以a4cos 10，所以当x(0,1)时，h(x)0，所以x3ax4xcos x1成立，所以当x(0,1)时，f(x)x1成立
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