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第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.记函数f(x)的导数为f (x),若f(x)对应的曲线在点(x0,f(x0)处的切线方程为y=-x+1,则()A.f (x0)=2B.f (x0)=1C.f (x0)=0D.f (x0)=-1答案D由函数在某一点处的导数的几何意义知f (x0)=-1.2.已知函数f(x)= cos x,则f ()+f 2=()A.-32B.-12C.-3D.-1答案Cf(x)= cos x,f (x)=-1x2cos x+(-sin x),f()+f 2=-1+2(-1)=-3.3.曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为()A.y=3x-1B.y=-3x-1C.y=3x+1D.y=-3x+1答案A由题意得y=(x+1)ex+2,则曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1.4.已知f(x)=x(2 016+ln x),若f (x0)=2 017,则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e答案Bf (x)=2 016+ln x+x=2 017+ln x,由f (x0)=2 017,得2 017+ln x0=2 017,则ln x0=0,解得x0=1.5.若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=()A.e-12B.2e-12C.e12D.2e12答案B依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0,对于y=2ln x+1,易知y=,则有y|x=x0=2x0,于是有a=2x0,ax0=2ln x0+1,解得x0=e,a=2e-12,选B.6.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案B由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,f (3)=-.g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf (x),g(3)=f(3)+3f (3),又由题图可知f(3)=1,g(3)=1+3-13=0.7.已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析由题意可知f (x)=a-,所以f (1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.8.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为.答案1e,+解析函数f(x)=ex-mx+1的导函数为f (x)=ex-m,要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需ex-m=-有解,即m=ex+有解,由ex0,得m,则实数m的取值范围为1e,+.9.已知函数f(x)= x3-2x2+3x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.解析(1)由题意得f (x)=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是-1,+).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,k-1,-1k-1,解得-1k0或k1,故由-1x2-4x+30)和g(x)=ln x的图象有公共点P,且在点P处的切线相同.(1)若点P的坐标为1e,-1,求a,b的值;(2)若a=b,求切点P的坐标.解析f (x)=2ax-b,g(x)=.(1)由题意得f1e=ae2-=-1,且f 1e=g1e,即2ae-b=e,由得a=2e2,b=3e.(2)若a=b,则f (x)=2ax-a,设切点P的坐标为(s,t),其中s0,由题意得as2-as=ln s,2as-a=,由得a=1s(2s-1),其中s,代入得s-12s-1=ln s.因为a=1s(2s-1)0,且s0,所以s.设函数F(x)=x-12x-1-ln x,x12,+,则F(x)=-(4x-1)(x-1)x(2x-1)2.令F(x)=0,解得x=1或x= (舍).当x变化时,F(x)与F(x)的变化情况如下表所示:x12,11(1,+)F(x)+0-F(x)极大值所以当x=1时,F(x)取得最大值,为F(1)=0,所以方程有且仅有一个解s=1.于是t=ln s=0,因此切点P的坐标为(1,0).B组提升题组11.函数f(x)=lnx-2xx的图象在点(1,-2)处的切线方程为()A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.x-y-3=0D.x+y+1=0答案Cf (x)=1-lnxx2,则f (1)=1,故函数f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.12.已知函数f(x)=ex-2ax,g(x) =-x3-ax2.若不存在x1,x2R,使得f (x1)=g(x2),则实数a的取值范围为()A.(-2,3)B.(-6,0)C.-2,3D.-6,0答案D依题意知函数f (x)与g(x)值域的交集为空集,f (x)=ex-2a-2a,g(x)=-3x2-2axa23,a23-2a,解得-6a0.13.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.2答案C依题意得, f (x)=-asin x,g(x)=2x+b, f (0)=g(0),-asin 0=20+b,故b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1,因此a+b=1,选C.14.曲线y=aln x(a0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a=.答案8解析令f(x)=y=aln x,则f (x)=,在x=1处的切线的斜率为a,f(1)=aln 1=0,故切点为(1,0),切线方程为y=a(x-1),令y=0,得x=1;令x=0,得y=-a,a0,所围成的三角形的面积为a1=4,a=8.15.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=,又f (x)=a+bx2,即有a+=,解得a=1,b=3.故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f (x)=1+3x2,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=1+3x02(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x02(x-x0).令x=0,得y=-6x0,从而得切线与直线x=0的交点坐标为0,-6x0.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为-6x0|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
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