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第4课时双曲线及其标准方程基础达标(水平一 )1.已知双曲线x216-y29=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为().A.7B.23C.5或25D.7或23【解析】设点F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=8,而|PF2|=15,解得|PF1|=7或23.【解析】D2.已知双曲线x24-y25=1上一点P到点F(3,0)的距离为 6,O为坐标原点,OQ=12(OP+OF),则|OQ|=().A.1B.5C.2 或 5D.1 或 5【解析】设双曲线的另一个焦点为F1,则由双曲线的定义知|PF1|-|PF|=4,所以|PF1|=2或10.因为OQ=12(OP+OF),所以Q为PF的中点.又因为O为F1F的中点,所以|OQ|=12|PF1|=1或5,故选D.【答案】D3.设F1、F2分别是双曲线x2-y224=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积等于().A.42B.83C.24D.48【解析】由3|PF1|=4|PF2|知,|PF1|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,|PF1|=8,|PF2|=6.又c2=a2+b2=25,c=5,|F1F2|=10,PF1F2为直角三角形,SPF1F2=12|PF1|PF2|=1286=24.【答案】C4.设P是双曲线x29-y216=1右支上的一点,M和N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|PN|的最大值为().A.6B.7C.8D.9【解析】设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=6,由数形结合可知,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,(|PM|-|PN|)max=|PM|max-|PN|min=6+3=9.【答案】D5.已知点P(2,-3)是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是.【解析】由题意知c=2,设该双曲线方程是x2a2-y24-a2=1,把点P(2,-3)代入,得4a2-94-a2=1,解得a2=1或a2=16(舍去).所以该双曲线方程为x2-y23=1.【答案】x2-y23=16.已知双曲线C的中心为坐标原点,点F(2,0)是双曲线C的一个焦点,过点F作渐近线的垂线l,垂足为M,直线l交y轴于点E,若|FM|=3|ME|,则双曲线C的方程为.【解析】设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1,由已知得|FM|=b,所以|OE|=4b32-4,所以4b32-42=ab,因为a2=4-b2,所以b2=3,a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y23=1.【答案】x2-y23=17.已知B(-5,0),C(5,0)是ABC的两个顶点,且sin B-sin C=35sin A,求顶点A的轨迹方程.【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=35|BC|=3510=6.又|AC|AB|,6|BC|,则点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的左支(除去左顶点).由2a=6,2c=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16,故顶点A的轨迹方程为x29-y216=1(x-3).拓展提升(水平二)8.椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为().A.48B.24C.243D.12【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6或|PF1|=6,|PF2|=8,又|F1F2|=10,所以PF1F2为直角三角形,F1PF2=90.所以PF1F2的面积S=12|PF1|PF2|=1268=24.【答案】B9.已知方程x24-t+y2t-1=1表示的曲线为C.给出以下四个判断:当1t4或t1时,曲线C表示双曲线;若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1t4.其中判断正确的是.(只填正确命题的序号)【解析】错误,当t=52时,曲线C表示圆;正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)0,t4;正确,若C为焦点在x轴上的椭圆,则4-tt-10,1t52;正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则4-t0,t4.【答案】10.已知双曲线x216-y225=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则|MN|-|MO|=.【解析】设F是双曲线的右焦点,连接PF(图略).因为M,O分别是FP,FF的中点,所以|MO|=12|PF|,所以|FN|=|OF|2-|ON|2=5.由双曲线的定义知|PF|-|PF|=8,所以|MN|-|MO|=|MF|-|FN|-12|PF|=12(|PF|-|PF|)-|FN|=128-5=-1.【答案】-111.当0180时,方程x2cos +y2sin =1表示的曲线如何变化?【解析】当=0时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1.当090时,方程为x21cos+y21sin=1.当045时,01cos1sin,它表示焦点在y轴上的椭圆;当=45时,它表示圆x2+y2=2;当451sin0,它表示焦点在x轴上的椭圆.当=90时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1.当90180时,方程为y21sin-x21-cos=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.当=180时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
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