高中数学 第二章 平面向量 第一讲 向量的概念及表示学案 苏教版必修1.doc

向量的概念及表示一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的概念及表示1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念；2. 理解零向量、单位向量、相等向量、共线（平行）向量、相反向量的含义；3. 理解向量的几何表示选择填空高考必考向量是代数和几何的知识交汇点，在选择填空题中向量的几何应用要引起足够的重视二、重难点提示重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。难点：向量的概念和共线向量的概念。一、向量及相关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。注意：向量与数量的区别向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小，只能说相等还是不相等。（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。规定零向量与任一向量平行。【要点诠释】两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等，则一定共线。向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。二、向量的表示（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如用表示。（2）整体法：用一个小写英文字母来表示，如a,b,c等，注意此时手写（）与书写体a 不一样。（3）坐标法：用坐标来表示向量（以后学习）。【易错点】注意：1. 零向量的手写体为，书写体用黑体字0表示。2. 如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。示例：四边形ABCD满足且，则四边形ABCD的形状是_。思路分析：根据相等向量的定义可得。答案：由四边形ABCD满足可知，四边形ABCD为平行四边形，又，即平行四边形ABCD对角线相等，从而可知四边形ABCD为矩形。【重要提示】本题是考查图形的形状的问题，把向量关系转化为图形的边的关系来解决。例题1 （向量的有关概念）判断下列各说法是否正确：（1）单位向量一定相等；（2）若ab，bc，则ac；（3）若，则点A与点C重合，点B与点D重合；（4）若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；（5）若向量ab，则ab；（6）若ab，bc，则ac。思路分析：从概念的理解出发，结合具体实例进行判断。答案：（1）不正确。向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等。（2）正确。ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac。（3）不正确。这是因为时，应有及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定有A与C重合，B与D重合。（4）不正确。“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的。（5）正确。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。（6）不正确。对于非零向量命题正确，但当b0时，满足ab，bc，但a与c不一定共线。技巧点拨：1. 在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数（即模的大小），又要考虑其形（即方向性）。2. 涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量。3. 对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可。例题2 （向量的表示） 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向西偏北50行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D。（1）作出向量，；（2）求思路分析：解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解。答案：（1）如图，（2）由题意，易知与方向相反，故与共线，即ABCD，又，在四边形ABCD中，AB与CD平行且相等，四边形ABCD为平行四边形，200（千米）。技巧点拨：用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度（模），选择合适的比例关系作出向量。 向量在几何证明中的应用【例证】如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又。求证：CN与MA平行且相等。思路分析：要证CNMA且CNMA，只需证四边形AMCN是平行四边形，而四边形AMCN是平行四边形，可以通过得证。答案：由条件可知ABDC且ABDC，从而四边形ABCD为平行四边形，从而，又M，N分别是BC，AD的中点，于是，所以ANMC且ANMC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CNMA且CNMA，即CN与MA平行且相等。技巧点拨：1. 若，且四点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则。2. 利用向量相等或共线证明平行、相等问题：（1）证明线段相等，只需证明相应向量的长度（模）相等；（2）证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线。