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第二课时三角函数线预习课本P1517，思考并完成以下问题(1)有向线段是如何定义的？ (2)三角函数线是如何定义的？ 1有向线段带有方向的线段叫做有向线段2三角函数线图示正弦线的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1,0)作x轴的垂线，交的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线点睛三角函数线都是有向线段因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线()答案：(1)(2)(3)2已知角的正弦线的长度为单位长度，那么角的终边()A在x轴上B在y轴上C在直线yx上 D在直线yx上答案：B3角(0”或“三角函数线的作法典例作出的正弦线、余弦线和正切线解角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.活学活用作出的正弦线、余弦线和正切线解：如图所示，的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.三角函数线的应用题点一：利用三角函数线比较大小1利用三角函数线比较下列各组数的大小：sin 与sin ；tan 与tan .解：如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，sin MP，tan AT；的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，则sin MP，tan AT，由图可见，MPMP0，ATATsin ，tan tan .题点二：利用三角函数线解不等式2在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .解：(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.题点三：利用三角函数线求函数的定义域3求函数f(x)ln的定义域解：由题意，得自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为.1利用三角函数线比较大小的两个关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向2利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线yb或xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围(2)正切型不等式的解法对于tan xc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围3利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想层级一学业水平达标1角和角有相同的()A正弦线B余弦线C正切线 D不能确定解析：选C在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等2已知角的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角的终边在()A直线yx上B直线yx上C直线yx上或直线yx上Dx轴上或y轴上解析：选C由角的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan 1，故角的终边在直线yx上或直线yx上3如果MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()AMPOM0MPCOMMP0OM解析：选D是第二象限角，sin 0，cos 0，OM0OM.4已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在()A第一象限的角平分线上B第四象限的角平分线上C第二、第四象限的角平分线上D第一、第三象限的角平分线上解析：选C作图(图略)可知角的终边在直线yx上，的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5若是第一象限角，则sin cos 的值与1的大小关系是()Asin cos 1 Bsin cos 1Csin cos 1.6若角的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为_解析：若角的余弦线长度为0，则的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_解析：如图，sin 1MP，cos 1OM.显然MPOM，即sin 1cos 1.答案：sin 1cos 18若，则sin 的取值范围是_解析：由图可知sin，sin1，sin 1，即sin .答案：9作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1)；(2).解：(1)因为，所以作出角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P，作PMx轴于点M，则有向线段MPsin ，有向线段OMcos ，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段ATtan .综上所述，图(1)中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线(2)因为，所以在第三象限内作出角的终边如图(2)所示交单位圆于点P用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线10求下列函数的定义域(1)ylg.(2)y.解：(1)为使ylg有意义，则sin x0，所以sin x，所以角x终边所在区域如图所示，所以2kx2k，kZ.所以原函数的定义域是.(2)为使y有意义，则3tan x0，所以tan x，所以角x终边所在区域如图所示，所以kxk，kZ，所以原函数的定义域是.层级二应试能力达标1下列三个命题：与的正弦线相等；与的正切线相等；与的余弦线相等其中正确命题的个数为()A1B2C3 D0解析：选B和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同2若是三角形的内角，且sin cos ，则这个三角形是()A等边三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析：选D当0时，由单位圆中的三角函数线知，sin cos 1，而sin cos ，必为钝角3如果，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin 解析：选A如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OMMPAT，即cos sin tan .4使sin xcos x成立的x的一个变化区间是()A BC D0，解析：选A如图，画出三角函数线sin xMP，cos xOM，由于sincos，sin cos ，为使sin xcos x成立，则由图可得x.5sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是_解析：由图可知：cos 0，sin 0.|MP|AT|，sin tan .故cos sin tan .答案：cos sin tan 6若02，且sin .利用三角函数线，得到的取值范围是_解析：利用三角函数线得的终边落在如图所示AOB区域内，所以的取值范围是.答案：7利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围(1)sin ；(2)cos .解：(1)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即.(2)图中阴影部分就是满足条件的角的范围，即.8若0，证明：sin tan .证明：如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，SOAPS扇形OAPSOAT，|OA|MP|l|OA|OA|AT|，|MP|l|AT|，sin tan .
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