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课时跟踪检测（十五） 导数的概念及运算A级保分题准做快做达标1曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10B(1e)xy10C(e1)xy10D(e1)xy10解析：选C由于ye，所以y|x1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.2已知函数f(x)aln xbx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线xy10垂直，则a的值为()A1B1C3D3解析：选D由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)1，即aln 1b121，解得b1，所以f(x)aln xx2，故f(x)2x.则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率kf(1)a2，因为切线与直线xy10垂直，所以a21，即a3.3(2019珠海期末)曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A30B45C60D120解析：选B由题意知点(1,3)在曲线yx32x4上yx32x4，y3x22，根据导数的几何意义，可知曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的斜率ky|x11，曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45.故选B.4(2019青岛模拟)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 018(x)()Asin xcos xBsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析：选Cf1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)的解析式以4为周期重复出现，2 01845042，f2 018(x)f2(x)sin xcos x，故选C.5(2019山东省实验中学一模)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A(0,0)B(1，1)C(1,1)D(1，1)或(1,1)解析：选Df(x)3x22ax，依题意，得解得或故选D.6(2019湖北黄石二中一模)若直线ykx2是函数f(x)x3x23x1图象的一条切线，则k()A1B1C2D2解析：选C直线ykx2过(0,2)，f(x)3x22x3，设切点为(x0，y0)，故切线方程为yy0(3x2x03)(xx0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0xx3x01，解得x01，y00，代入ykx2，解得k2.7(2019银川一中月考)设函数f(x)x3x24x1，则导数f(1)的取值范围是()A3,4B3,6C4，6D4，4解析：选B求导得f(x)x2sin xcos 4，将x1代入导函数，得f(1)sin cos 42sin4，由，可得，sin，2sin43,6故选B.8(2019巴蜀中学模拟)已知曲线y在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为()A2xy20B2xy20或2xy180C2xy180D2xy20或2xy180解析：选By，y|x22，因此kl2，设直线l方程为y2xb，即2xyb0，由题意得2，解得b18或b2，所以直线l的方程为2xy180或2xy20.故选B.9(2019成都双流区模拟)过曲线yx22x3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是()A.B.C0，)D.解析：选B因为y2x2,1x，所以02x21.设切线的倾斜角为，则0tan 1.因为0，所以0，故选B.10(2019广东七校联考)函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图象大致是()解析：选A法一：由题意，得f(x)cos xx(sin x)cos xxsin x，f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数又f(0)1，所以排除C、D；令g(x)f(x)cos xxsin x，则g(x)xcos x2sin x，易知g(0)0，且当x时，g(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x0处取得极大值，排除选项B.故选A.法二：由题意，得f(x)cos xx(sin x)cos xxsin x，又f(0)1，所以排除C，D；当x时，ycos x单调递减，对于yxsin x，yxcos xsin x0，则yxsin x单调递增，则f(x)cos xxsin x在上单调递减故选A.11(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为y，y|x12，所以切线方程为y02(x1)，即y2x2.答案：y2x212若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_解析：由yx2ln x，得y2x(x0)，设点P0(x0，y0)是曲线yx2ln x上到直线yx2的距离最小的点，则yxx02x01，解得x01或x0(舍去)点P0的坐标为(1,1)所求的最小距离为.答案：13(2019石家庄二中月考)已知函数f(x)，g(x)x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为_解析：因为f(x)，所以f(x)，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k，故切线方程为y(xx1)，即yx.与g(x)x2联立，得x2x0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以240，解得x1，故斜率k4.答案：414(2019淄博六中期末)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离为_解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2xy30，即斜率是2，则y|xx02，解得x01，所以y00，即点P(1,0)又点P到直线2xy30的距离为，所以曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.答案：15(2019孝感高中期中)已知函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数b的取值范围解：(1)f(x)3x21，f(1)2.故切线方程为y02(x1)，即2xy20.(2)设切点为(x0，xx0)，则切线方程为y(xx0)f(x0)(xx0)又切线过点(1，b)，所以(3x1)(1x0)xx0b，即2x3xb10.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解记g(x)2x33x2b1，则g(x)有三个不同的零点，而g(x)6x(x1)，令g(x)0得x0或x1，则结合图像可知g(0)g(1)0即可，可得b(1,0)16设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由解：(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，所以解得故f(x)x.(2)是定值，理由如下：设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点，由f(x)1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B级难度题适情自主选做1(2019蚌埠质检)已知函数f(x)x，曲线yf(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是()A(e2，)B(e2,0)C.D.解析：选D曲线yf(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，f(x)a(x1)ex0有两个不同的解，即a(1x)ex有两个不同的解设y(1x)ex，则y(x2)ex，当x2时，y2时，y0，则y(1x)ex在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，x2时，函数y取得极小值e2.又当x2时总有y(1x)ex0，可得实数a的取值范围是.故选D.2(2019山东名校调研)已知曲线yexa与yx2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是()A2ln 22，)B(2ln 2，)C(，2ln 22D(，2ln 22)解析：选D由题意可设直线ykxb(k0)为它们的公切线，联立可得x2kxb0，由0，得k24b0.由yexa求导可得yexa，令exak，可得xln ka，切点坐标为(ln ka，kln kakb)，代入yexa可得kkln kakb.联立可得k24k4ak4kln k0，化简得44a4ln kk.令g(k)4ln kk，则g(k)1，令g(k)0，得k4，令g(k)0，得0k4，令g(k)4.g(k)在(0,4)内单调递增，在(4，)内单调递减，g(k)maxg(4)4ln 44，且k0时，g(k)，k时，g(k).有两条公切线，方程44a4ln kk有两解，44a4ln 44，a2ln 22.故选D.
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