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第4课时导数的运算法则基础达标(水平一)1.已知f(x)=x2f(1),则f(0)=().A.0B.1C.2D.3【解析】因为f(x)=x2f(1),所以f(x)=2xf(1),所以f(0)=2f(1)0=0.【答案】A2.已知函数f(x)=ax3+3x2+2,若f(-1)=4,则a的值是().A.193 B.133C.103D.163【解析】由f(x)=ax3+3x2+2,得f(x)=3ax2+6x.所以f(-1)=3a-6=4,解得a=103.【答案】C3.若f(x)=ax2-bsin x,且f(0)=1,f3=12,则a+b等于().A.1B.0C.-1D.2【解析】因为f(x)=2ax-bcos x,所以f(0)=-b,f3=23a-bcos3=23a-12b,所以b=-1,23a-12b=12,解得a=0,b=-1,所以a+b=-1.【答案】C4.曲线y=xsin x在点-2,2处的切线与x轴、直线x=所围成的三角形的面积为().A.22B.2C.22D.12(2+)2【解析】因为曲线y=xsin x在点-2,2处的切线方程为y=-x,所以此切线与x轴、直线x=所围成的三角形的面积为22.【答案】A5.若函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=.【解析】f(ex)=x+ex=ln ex+ex,f(x)=ln x+x.f(x)=1x+1,f(1)=2.【答案】26.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)0的解集为.【解析】由f(x)=x2-2x-4ln x,得函数定义域为(0,+),且f(x)=2x-2-4x=2x2-2x-4x=2x2-x-2x=2(x+1)(x-2)x0,解得x2,故f(x)0的解集为x|x2.【答案】x|x27.设函数f(x)=x3+bx2+cx,若g(x)=f(x)-f(x)是奇函数,求b+c的值.【解析】函数f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c,g(x)=f(x)-f(x)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c.g(x)为奇函数,b-3=0,-c=0,即 b=3,c=0,b+c=3.拓展提升(水平二)8.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k的值为().A.-eB.eC.-1eD.1e【解析】y=1x=k,x=1k,切点坐标为1k,1.又切点在曲线y=ln x上,ln1k=1,1k=e,k=1e.【答案】D9.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2020(x)等于().A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x【解析】f0(x)=sin x,f1(x)=f0(x)=(sin x)=cos x,f2(x)=f1(x)=(cos x)=-sin x,f3(x)=f2(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=f3(x)=(-cos x)=sin x,4为fn(x)的最小正周期,f2020(x)=f4505(x)=f0(x)=sin x.故选A.【答案】A10.若函数f(x)=ex+2ax存在与直线y=5x+6平行的切线,则实数a的取值范围是.【解析】f(x)=ex+2a,由题意ex+2a=5有解,ex=5-2a,5-2a0,a52.【答案】-,5211.设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(1)由7x-4y-12=0,得y=74x-3.当x=2时,y=12,所以f(2)=12.又f(x)=a+bx2,所以f(2)=74.由得2a-b2=12,a+b4=74.解得a=1,b=3.故f(x)=x-3x.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f(x)=1+3x2,知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=1+3x02(x-x0),即y-x0-3x0=1+3x02(x-x0).令x=0,得y=-6x0,即得切线与直线x=0的交点坐标为0,-6x0.令y=x,得y=x=2x0,即得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为12-6x0|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
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