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第3练不等式与线性规划明晰考情1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中低档难度.考点一不等关系与不等式的性质要点重组不等式的常用性质(1)如果ab0，cd0，那么acbd.(2)如果ab0，那么anbn(nN，n1).(3)如果ab0，那么(nN，n2).1.若ab0，cdB.D.答案D解析由cd0，得0，又ab0，.2.(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab0B.abab0C.ab0abD.ab0ab答案B解析alog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.log0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，01，abab0.3.已知x，yR，且xy0，则()A.0B.sinxsiny0C.xy0D.lnxlny0答案C解析函数y在(0，)上单调递减，所以，即0，A错；函数ysinx在(0，)上不是单调函数，B错；函数yx在(0，)上单调递减，所以xy，即xy0，C正确；lnxlnylnxy，当xy0时，xy不一定大于1，即不一定有lnxy0，D错.4.若xy，ab，则在：axby；axby；axby；这四个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_.答案考点二不等式的解法方法技巧(1)解一元二次不等式的步骤一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式)，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).(2)可化为0(或0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解.(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.5.用mina，b表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)minx3，x23x6，则不等式f(x1)2的解集为()A.x|x4C.x|x4D.x|x5答案D解析画出yx3与yx23x6的图象如图所示，由图易得f(x)故f(x)的图象如图中的粗线部分所示，由f(x)2，作出直线y2，数形结合得x4，则由不等式f(x1)2，可得x14，得x5，故选D.6.已知x(，1，不等式12x(aa2)4x0恒成立，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.(，6答案C解析令2xt (00aa2，故只要求解h(t) (0，所以4a24a30，b0(1)利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等.(2)求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致.9.(2018大庆模拟)设a，bR，a22b26，则ab的最小值为()A.2B.C.3D.答案A解析因为由基本不等式a22b22ab，所以2(a22b2)a22b22ab(ab)2.又因为a22b26，则有26(ab)2，即2ab2.10.若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A.B.C.D.答案A解析由x26xy10，可得x26xy1，即x(x6y)1.因为x，y都是正数，所以x6y0.故2x(x6y)22，即3x6y2，故x2y(当且仅当2xx6y，即x6y0时等号成立).故选A.11.如图，在RtABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M，N在过点P的直线上，若，(0，0)，则2的最小值为()A.2B.C.3D.答案B解析()，因为M，N，P三点共线，所以1.因此2(2)2，当且仅当，时“”成立，故选B.12.(2017天津)若a，bR，ab0，则的最小值为_.答案4解析a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即且a，b同号时取得等号.故的最小值为4.考点四简单的线性规划问题方法技巧(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.(2)常见的目标函数截距型：zaxby；距离型：z(xa)2(yb)2；斜率型：z.13.(2018天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A.6B.19C.21D.45答案C解析画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z3x5y，得yx.设直线l0为yx，平移直线l0，当直线yx过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax325321.故选C.14.(2018安徽省“皖南八校”联考)设x，y满足约束条件则z|x3y|的最大值为()A.15B.13C.3D.2答案A解析画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，设z1x3y，可化为yx，当直线yx经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z1取得最大值，当直线yx经过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z1取得最小值，由解得A(3,4)，此时最大值为z133415；由解得B(2,0)，此时最小值为z12302，所以目标函数z|x3y|的最大值为15.15.(2016山东)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C解析满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x3，y1时，x2y2取最大值，最大值为10.故选C.16.(2018永州模拟)设实数x，y满足约束条件则z的最大值是_.答案1解析满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.z表示可行域内的点(x，y)与(0,0)连线的斜率，由图可知，最大值为kOA1.1.若不等式(2)na3n1(2)n0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析当n为奇数时，要满足2n(1a)3n1恒成立，即1an恒成立，只需1a1，解得a；当n为偶数时，要满足2n(a1)3n1恒成立，即a1n恒成立，只需a12，解得a.综上，a，故选D.2.已知实数x，y满足不等式组则(x3)2(y2)2的最小值为_.答案13解析画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x3)2(y2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线xy2与y1的交点(1,1)时，(x3)2(y2)2取得最小值，为13.3.设实数x，y满足条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为_.答案4解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线zaxby(a0，b0)过直线xy20与直线3xy60的交点(4,6)时，目标函数zaxby(a0，b0)取得最大值12，即2a3b6，则24，当且仅当，即时取等号.解题秘籍(1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决.(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式：a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号；ab2 (a0，b0)，当且仅当ab时取等号.注意公式的变形使用和等号成立的条件.(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义.1.若xy0，mn，则下列不等式正确的是()A.xmymB.xmynC.D.x答案D2.已知a0，b0，且a1，b1，若logab1，则()A.(a1)(b1)0B.(a1)(ab)0C.(b1)(ba)0D.(b1)(ba)0答案D解析取a2，b4，则(a1)(b1)30，排除A；则(a1)(ab)20，排除B；(b1)(ba)60，排除C，故选D.3.设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是()A.(3,1)(3，) B.(3,1)(2，)C.(1,1)(3，) D.(，3)(1,3)答案A解析f(1)3.由题意得或解得3x3.4.下列函数中，y的最小值为4的是()A.yxB.ylog3x4logx3C.ysinx(0x)D.yex4ex答案D5.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为()A.米B.2米C.(1)米D.(2)米答案D解析由题意设BCx(x1)米，ACt(t0)米，依题意知ABAC0.5t0.5(米)，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos60，即(t0.5)2t2x2tx，化简并整理得t(x1)，即tx12，又x1，故tx122，此时t取最小值2，故选D.6.已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A.5B.29C.37D.49答案C解析如图，由已知得平面区域为MNP内部及边界.圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点(6,1)处时，|a|max6.a2b2的最大值为621237.故选C.7.实数x，y满足且z2xy的最大值是最小值的4倍，则a的值是()A.B.C.D.答案B解析在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z2xy经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3，当目标函数z2xy经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由343a，得a.8.若对任意的x，yR，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，则实数a的取值范围为()A.(，1 B.1，)C.1，) D.(，1答案B解析不等式x2y2xy3(xya)对任意的x，yR恒成立等价于不等式x2(y3)xy23y3a0对任意的x，yR恒成立，所以(y3)24(y23y3a)3y26y912a3(y1)212(1a)0对任意的yR恒成立，所以1a0，即a1，故选B.9.设函数f(x)，则不等式f()f的解集是_.答案解析函数f(x)的定义域为(1,1)且在(1,1)上单调递增，f(x)f(x)，所以f()ff()f1，解得x.10.(2018天津)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_.答案解析a3b60，a3b6，2a2a23b222223，当且仅当即时取到等号，则最小值为.11.若变量x，y满足条件则(x2)2y2的最小值为_.答案5解析如图所示，作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).设z(x2)2y2，则z的几何意义为可行域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，由图象可知，C，D两点间的距离最小，此时z最小，由可得即C(0,1).所以zmin(02)212415.12.不等式组所表示的平面区域的面积为S，则当不等式a恒成立时，实数a的取值范围是_.答案(，6解析画出满足不等式组的平面区域，如图所示(阴影部分含边界)，则Sm|AB|m2，所以m1m12226(当且仅当m3时等号成立)，则由题意知实数a的取值范围是a6.
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