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专题突破练15空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1底面ABC.(1)证明:MN平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及体积.2.(2018河北武邑中学质检一,文18)如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,E为AB的中点.(1)在侧棱VC上找一点F,使BF平面VDE,并证明你的结论;(2)在(1)的条件下求三棱锥E-BDF的体积.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB与PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.4.(2018辽宁抚顺一模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为梯形,ABCD,BAD=60,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE平面PAD;(2)求三棱锥E-PBD的体积.5.(2018全国卷2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,点M是棱CC1的中点.(1)在棱AB上是否存在一点N,使MN平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理由;(2)当ABC是等边三角形,且AC=CC1=2时,求点M到平面AB1C1的距离.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BCC1B1,BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.8.(2018百校联盟四月联考,文19)如图,在几何体ABCDEF中,底面CDEF是平行四边形,ABCD,AB=1,CD=2,DE=2,DF=4,DB=2,DB平面CDEF,CE与DF交于点O.(1)求证:OB平面ACF;(2)求三棱锥B-DEF的表面积.参考答案专题突破练15空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明 取AC的中点P,连接PN,PM.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,PNAB1,PMAA1.PMPN=P,AB1AA1=A,PM,PN平面PMN,AB1,AA1平面AB1A1,平面PMN平面AB1A1.MN平面PMN,MN平面ABB1A1.(2)解 设O为AB的中点,连接B1O,由题意知B1BA是正三角形,则B1OAB.侧面ABB1A1底面ABC,且交线为AB,B1O平面ABC,三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=.SABC=22sin 60=,三棱柱B1-ABC的体积V=SABCB1O=1.2.解 (1)F为VC的中点.取CD的中点H,连接BH,HF,ABCD为正方形,E为AB的中点,BEDH,BHDE.FHVD,平面BHF平面VDE.BF平面VDE.(2)F为VC的中点,SBDE=S正方形ABCD,VE-BDF=VF-BDE=VV-ABCD.V-ABCD为正四棱锥,V在平面ABCD内的射影为AC的中点O,VA=,AO=,VO=.VV-ABCD=22,VE-BDF=.3.(1)证明 ABC=BAD=90,ADBC.BC=2AD,E是BC的中点,AD=CE,四边形ADCE是平行四边形,AECD.又AE平面PCD,CD平面PCD,AE平面PCD.(2)解 连接DE,BD,设AEBD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形,O为BD的中点.PAB与PAD都是边长为2的等边三角形,BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,OPOB,OP=,OP2+OA2=PA2,即OPOA.又OA平面ABCD,BD平面ABCD,OAOB=O,OP平面ABCD.VP-ABCD=S梯形ABCDOP=(2+4)2=2.4.(1)证明 设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为PDC的中位线,所以EFCD,且EF=CD=2.又ABCD,AB=2,所以ABEF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF.又AF平面PAD,BE平面PAD,所以BE平面PAD.(2)解 因为E为PC的中点,所以三棱锥VE-PBD=VE-BCD=VP-BCD.又AD=AB,BAD=60,所以ABD为等边三角形.因此BD=AB=2.又CD=4,BDC=BAD=60,所以BDBC,因为PD平面ABCD,所以三棱锥P-BCD的体积VP-BCD=PDSBCD=222.所以三棱锥E-PBD的体积VE-PBD=.5.解 (1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,ACB=45.所以OM=,CH=.所以点C到平面POM的距离为.6.解 (1)在棱AB上存在中点N,使MN平面AB1C1,证明如下:设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点,所以NDAB1,DMB1C1,所以ND平面AB1C1,DM平面AB1C1.又NDDM=D,所以平面NDM平面AB1C1.因为MN平面NDM,所以MN平面AB1C1.(2)因为MN平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等.又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半.因为AA1平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以AB1C1的底边B1C1上的高为.设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,得22h,可得h=,故点M到平面AB1C1的距离为.7.(1)证明 在四边形BCC1B1中,BC=CD=DC1=1,BCD=,BD=1.B1D=,BB1=2,B1DBD.AB平面BCC1B1,ABDB1,DB1平面ABD.(2)解 对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为2.设A1到平面ADB1的距离为h,ADB1为直角三角形,ADDB1=,h=h.22=2,D到平面AA1B1的距离为,2.,解得h=.点A1到平面ADB1的距离为.8.(1)证明 取CF中点G,连接AG,OG,在CDF中,O是DF的中点,G是CF的中点,OGCD,OG=CD,又ABCD,AB=1,CD=2,OGAB,OG=AB,四边形ABOG为平行四边形,OBAG,AG平面ACF,OB平面ACF,故OB平面ACF.(2)解 由EF=CD=2,DE=2,DF=4,可得EF2+DF2=DE2,所以EFDF.DEF的面积S1=DFEF=42=4.由DB平面CDEF,DF平面CDEF,DE平面CDEF,EF平面CDEF,可得BDDF,BDDE,BDEF,BDF的面积S2=BDDF=24=4,BDE的面积S3=BDDE=22=2,由EFDF,EFBD,BDDF=D,可得EF平面BDF.又BF平面BDF,所以EFBF.BF=2,BEF的面积S4=BFEF=22=2,三棱锥B-DEF的表面积S=S1+S2+S3+S4=8+4.
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