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第15练空间线面关系的判断明晰考情1.命题角度：空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系；利用空间的平行、垂直关系求解空间角.2.题目难度：中档难度考点一空间线面位置关系的判断方法技巧(1)判定两直线异面的方法：反证法；利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断(3)空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论：平面图形的平行关系：平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行；平面图形中的垂直关系：等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形的对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理1已知直线a与平面，a，点B，则在内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线答案D解析在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行2下列说法正确的是()A若直线l平行于平面内的无数条直线，则lB若直线a在平面外，则aC若直线ab，直线b，则aD若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线答案D解析A错误，直线l还可以在平面内；B错误，直线a在平面外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面相交或在平面内故选D.3将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是()A平行B垂直C相交成60角D异面且成60角答案D解析如图，直线AB，CD异面因为CEAB，所以ECD即为异面直线AB，CD所成的角，因为CDE为等边三角形，故ECD60.4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为_答案垂直解析连接BO，AO平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，AOB1C.又侧面BB1C1C为菱形，B1CBO，又AOBOO，AO，BO平面ABO，B1C平面ABO.AB平面ABO，B1CAB.考点二空间角的求解方法技巧(1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影5(2018全国)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析方法一如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB，由题意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故选C.方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，|，cos，.故选C.6已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB2，CD4，EFAB，则EF与CD所成的角的大小为()A90B45C60D30答案D解析设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中位线由此可得GFAB，且GFAB1，GECD，且GECD2，FEG或其补角即为EF与CD所成的角又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sinGEF，又GEF为锐角，GEF30.EF与CD所成的角的大小为30.7.已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A.B.C.D.答案B解析连接AE，BD，过点F作FHBD交BD于H，连接EH，则FH平面BDD1B1，FEH是直线EF和平面BDD1B1所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BB1，AD的中点，在RtDFH中，DF1，FDH45，可得FHDF.在RtAEF中，AF1，AE，可得EF.在RtEFH中，sinFEH，直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是.8如图，设E，F分别是正方形ABCD中CD，AB边的中点，将ADC沿对角线AC对折，使得直线EF与AC异面，记直线EF与平面ABC所成的角为，与异面直线AC所成的角为，则当tan时，tan等于()A.B.C.D.答案C解析分别连接BD交AC于点O，连接DO.因为ADCD，所以DOAC，又因为ACBD，BDDOO，所以AC平面BDD，又BD平面BDD，所以ACBD.取BC的中点S，连接FS，ES，则FSAC，ESBD，所以FSES，又因为EFS为异面直线AC与EF所成的角，所以tan，设ES1，则FS2，AC4，取CO的中点G，连接EG，SG，则EGSG1，所以EGS为等边三角形，过点E作EHGS，由上可知ACEG，ACSG且EGSGG，则AC平面EGS.又EH平面EGS，所以EHAC，又GSACG，所以EH平面ABCD，所以EFH为EF与平面ABCD所成的角，因为EH，FH，所以tanEFH，故选C.考点三立体几何中的动态问题方法技巧(1)考虑动态问题中点线面的变化引起的一些量的变化，建立目标函数，用代数方法解决几何问题(2)运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现动点的运动规律(3)运动过程中端点的情况影响问题的思考，可以利用极限思想考虑运动变化的极限位置9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点有下列判断：直线AC与直线C1E是异面直线；A1E一定不垂直于AC1；三棱锥EAA1O的体积为定值；AEEC1的最小值为2.其中正确的个数是()A1B2C3D4答案C解析因为点A平面BB1C1C，所以直线AC与直线C1E是异面直线；当A1EAB1时，直线A1E平面AB1C1，所以A1EAC1，错误；球心O是直线AC1，A1C的交点，底面OAA1面积不变，直线BB1平面AA1O，所以点E到底面的距离不变，体积为定值；将矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展开到一个面内，当点E为AC1与BB1的交点时，AEEC1取得最小值2，故选C.10已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30角，则点P的轨迹为()A圆B抛物线C双曲线D椭圆答案A解析因为在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，所以该平行六面体ABCDA1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D底面ABCD，AC对角面BB1D1D.取AA1的中点F，则EFAC，因为EP与AC成30角，所以EP与EF成30角设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面，故选A.11.如图在正四面体(所有棱长都相等)DABC中，动点P在平面BCD上，且满足PAD30，若点P在平面ABC上的射影为P，则sinPAB的最大值为()A.B.C.D.答案A解析以AD为轴，DAP30，AP为母线，围绕AD旋转一周，在平面BCD内形成的轨迹为椭圆，当且仅当点P位于椭圆的长轴端点(图中点M的位置)时，PAB最大，此时ADDM，且DMBC.设正四面体DABC的各棱长为2，在RtADM中，AD2，MAD30，则MD，AM.过点D作正四面体DABC的高DO，O为底面正三角形ABC的中心，连接AO，作MP平面ABC于点P，连接PO，并延长交AB于点N，因为DMBC，MP平面ABC，DO平面ABC，所以MPDO且MPDO，四边形MPOD为矩形，所以PODM，ON，所以PN.又在正四面体DABC中，AO2，所以DO，所以MP.在RtAOP中，AP，于是在APN中，由正弦定理可得，解得sinPAB，故选A.12如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_答案解析如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2，QMm(0m2)，则F(2,1,0)，E(1,0,0)，M(0，m,2)(0m2)(2,1,0)，(1，m，2)，cos|cos，|.设y，则y.当0m2时，y0，y在(0,2)上单调递减当m0时，y取最大值，此时cos取得最大值，(cos)max.1，是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定的是()A，都平行于直线l，mB内有三个不共线的点到的距离相等Cl，m是内的两条直线且l，mDl，m是两条异面直线且l，m，l，m答案D解析对于A，l，m应相交；对于B，应考虑三个点在的同侧或异侧两种情况；对于C，l，m应相交，故选D.2给出下列命题：若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面同时和异面直线a，b都平行其中正确的命题为()ABCD答案C解析错，c可与a，b都相交；错，因为a，c也可能相交或平行；正确，例如过异面直线a，b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件3在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为BC边上一个动点，ABD沿AD翻折使BDDC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是()A线段NO为定长BCO1，)CAMOADB180D点O的轨迹是圆弧答案C解析如图所示，对于A，AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ONAC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO1，CO1，CO1，)，即B正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确，故选C.解题秘籍(1)平面的基本性质公理是几何作图的重要工具(2)两条异面直线所成角的范围是(0，90(3)线面关系的判断要结合空间模型或实例，以定理或结论为依据进行推理，绝不能主观判断(4)立体几何中的动态问题要搞清运动的实质，选用恰当的方法解题1已知直线a平面，则“直线a平面”是“平面平面”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a平面，直线a平面，可得平面平面；若平面平面，又直线a平面，那么直线a平面，直线a平面都可能成立如正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD平面BCC1B1，直线AD平面BCC1B1，但直线AD平面ABCD；直线AD1平面BCC1B1，但直线AD1与平面ABCD不垂直综上，“直线a平面”是“平面平面”的充分不必要条件2.如图，在三棱锥PABC中，不能得出APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面PBC平面APC，BCPCDAP平面PBC答案B解析A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.又BC平面PBC，所以APBC，故A可以得出APBC；C中，因为平面BPC平面APC，且平面BPC平面APCPC，BCPC，BC平面PBC，所以BC平面APC.又AP平面APC，所以PABC，故C可以得出APBC；D中，由A知D可以得出APBC；B中条件不能得出APBC，故选B.3已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是()ABCD答案B解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有()A1个B2个C3个D4个答案B解析将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错故选B.5平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，则m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小而B1CB1D1CD1(均为面对角线)，因此CD1B1，得sinCD1B1，故选A.6如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，且PCPDCD2，BC2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析连接BD，OB，则OMDB，PDB或其补角为异面直线OM与PD所成的角由条件可知PO平面ABCD，OB3，PO，BD2，PB2，在PBD中，由余弦定理可得cosPDB.7(2018浙江省杭州市第二中学模拟)等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD的侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：四面体EBCD的体积有最大值和最小值；存在某个位置，使得AEBD；设二面角DABE的平面角为，则DAE；AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆其中，正确说法的个数是()A1B2C3D4答案D解析根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边AE绕斜边AB旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体EBCD的体积有最大值和最小值，故正确；要想使AEBD，就要使AE落在竖直方向的平面内，而转到这个位置的时候，使得AEBD，且满足是等腰直角三角形，所以正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，设二面角DABE的平面角为，则DAE，所以是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以正确故正确的命题的个数是4，故选D.8(2018浙江省杭州市学军中学模拟)已知在矩形ABCD中，ADAB，沿直线BD将ABD折成ABD，使得点A在平面BCD上的射影在BCD内(不含边界)，设二面角ABDC的大小为，直线AD，AC与平面BCD所成的角分别为，则()ABCD答案D解析如图，四边形ABCD为矩形，BAAD，当A点在底面上的射影O落在BC上时，有平面ABC底面BCD，又DCBC，平面ABC平面BCDBC，DC平面BCD，可得DC平面ABC，则DCBA，BA平面ADC，在RtBAC中，设BA1，则BC，AC1，说明O为BC的中点；当A点在底面上的射影E落在BD上时，可知AEBD，设BA1，则AD，AE，BE.要使点A在平面BCD上的射影F在BCD内(不含边界)，则点A的射影F落在线段OE上(不含端点)可知AEF为二面角ABDC的平面角，直线AD与平面BCD所成的角为ADF，直线AC与平面BCD所成的角为ACF，可求得DFCF，ACAD，且AE1，而AC的最小值为1，sinADFsinACFsinAEO，则.9如图，DC平面ABC，EBDC，EB2DC，P，Q分别为AE，AB的中点则直线DP与平面ABC的位置关系是_答案平行解析连接CQ，在ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQBE，PQBE.又DCEB，DCEB，所以PQDC，PQDC，所以四边形DPQC为平行四边形，所以DPCQ.又DP平面ABC，CQ平面ABC，所以DP平面ABC.10，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)答案解析当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确11.如图，在三棱锥SABC中，若AC2，SASBSCABBC4, E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为_，直线AC与平面SAB所成的角为_答案60解析取SA的中点M，连接ME，BM，则直线AC与BE所成的角等于直线ME与BE所成的角，因为ME，BMBE2，cosMEB，所以直线AC与BE所成角的余弦值为.取SB的中点N，连接AN，CN，则ANSB，CNSBSB平面ACN平面SAB平面ACN，因此直线AC与平面SAB所成的角为CAN，因为ANCNAC2，所以CAN60，因此直线AC与平面SAB所成的角为60.12在正方体ABCDA1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；二面角PAD1C的大小不变；若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1.其中真命题的序号是_答案解析为定值；因为BC1AD1，所以BC1平面AD1C，因此P到平面AD1C的距离不变，但AP长度变化，因此直线AP与平面ACD1所成的角的大小变化；二面角PAD1C的大小就是平面ABC1D1与平面AD1C所成二面角的大小，因此不变；到点D和C1距离相等的点在平面A1BCD1上，所以M点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1.综上，真命题的序号是.
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