材料力学材力讲稿ch61新(恢复).ppt

1 版权所有 2000 2005 c 华中科技大学力学系 华中科技大学力学系 罗俊 材料力学 Copyright 2000 2005 c Dept Mech HUST China E mail luo jun 1975 Tel 13971226189 MechanicsofMaterials 2 第六章应力状态与强度理论 6 1应力状态的概念 6 2平面应力状态主应力 6 3三向应力状态简介 6 4广义虎克定理 6 5平面应力状态下的应变分析 6 6应变能密度畸变能密度 6 7强度理论相当应力 3 6 1应力状态的概念 一 单元体 微元体 过受力构件内部一点O 取平行于坐标面的六个微面组成正六面体dx dy dz 称为该点的单元体 4 过受力构件内部一点O 取平行于坐标面的六个微面组成正六面体dx dy dz 称为该点的单元体 构件内部各点处的应力值一般不相等 对于同一点来说 各个方位角截面上的应力一般也不相等 受力构件内过一点处不同方位微面上应力的集合 称为一点的应力状态 6 1应力状态的概念 5 6 1应力状态的概念 二 主应力主平面 对于一般的应力单元体 如果有的微面上没有切应力 则该面称为该点的应力主平面 主平面上的正应力称为主应力 如果三个主应力都不为零 该点处于三向应力状态 如果有一个主应力为零 则称该点处于平面应力状态 如果只有一个主应力不为零 则称该点处于单向应力状态 思考 任意一点的三个主平面是否是唯一的 结论 结构内任何一点都可以找到三个互相垂直的主平面 这三个主平面上分别作用有三个主应力 用表示 并按照代数值大小排列 即 6 6 1应力状态的概念 三 基本变形的应力状态 1 单向拉伸和压缩 2 扭转 3 纯弯曲 4 横力弯曲 平面应力状态与Z轴相关的应力为零 7 6 1应力状态的概念 四 为什么要进行应力状态分析 1 材料力学的强度理论一般是基于主应力的 对于处于一般受力状态下的微体 要对单元体不同方位微面上的应力变形进行分析 以确定主应力的方位和大小 2 可以加深对应力是一个张量的理解 不同方位微面上的应力值对应于应力张量的坐标变换 3 应力状态分析是学习弹性体力学的基础 8 6 2平面应力状态主应力 目的 用一点某个单元体上的应力表示其它方位单元体上的应力 同时可以找出主应力的大小和主平面的方位 平面 二向 应力状态 单元体上所有与Z轴相关的应力均为零 独立的应力值有 9 6 2平面应力状态主应力 平面 二向 应力状态分析时的应力的正负号规定 正应力符号规定 10 6 2平面应力状态主应力 切应力符号 使微元顺时针转动为正反之为负 角符号 由x轴逆时针转到x 轴 斜截面外法线 为正反之为负 11 6 2平面应力状态主应力 斜截面应力 平衡方程 12 6 2平面应力状态主应力 13 6 2平面应力状态主应力 14 6 2平面应力状态主应力 15 6 2平面应力状态主应力 用斜截面截取 得到微元的另一截面的公式 16 6 2平面应力状态主应力 最后 得到以下四个方程 17 6 2平面应力状态主应力 任意两个互相垂直的微面上的正应力之和保持不变 切应力互等定理 默认切应力沿顺时针方向 18 6 2平面应力状态主应力 二 应力极值 由此得两个驻点 19 6 2平面应力状态主应力 在切应力相对的方向上 且偏向于 x及 y大的一侧 20 6 2平面应力状态主应力 应力圆 StressesCircle 为什么叫莫尔圆 Mohr sCircle 首先由OttoMohr 1835 1918 提出 又是一位工程师 21 6 2平面应力状态主应力 往下是关键的一步 平方和相加 得 一 斜截面应力 在 坐标系中 与落在一个圆上 应力圆或莫尔圆 22 6 2平面应力状态主应力 圆心 半径 二 应力圆的画法 第一种画法 1 在 轴上作出A0 x 0 B0 y 0 2 A0 B0的中点为圆心C 3 过A0垂直向上取 xy得A CA为半径 4 以C为圆心 CA为半径画圆 23 6 2平面应力状态主应力 第二种画法 1 坐标系内画出点A x xy B y yx 2 AB与sa轴的交点C是圆心 3 以C为圆心以AC为半径画圆 应力圆或莫尔圆 24 单元体与应力圆的对应关系 1 单元体的右侧立面 应力圆的A点 2 0 2 斜截面和应力 应力圆上一点D点和坐标 3 单元体上夹角 应力圆上CA与CD夹角2 且转向一致 4 主单元体上 1所在面法向是由x轴顺时针转 0 轴上应力圆最右端 25 四 应力极值 26 例单元体上应力如图 求出主应力 画出主单元体 30 1 取的中点C为圆心 以AC为半径画莫尔圆2 算出心标0C 40 半径 3 算出主应力 切应力极值 4 算出方位角 27 5 画出主单元体 1 A点对应于右垂面 2 右垂面顺时针转 得主单元体的最大拉应力所在的面 3 垂直做主单元体的另一个面 28 例求图示单元体的主应力及主平面的位置 单位 MPa 解 1 主应力坐标系如图 3 AB的垂直平分线与sa轴的交点C即是圆心 以C为圆心 以AC为半径画圆 应力圆 2 在坐标系内画出点 1 29 4 按图计算心标和半径OC A横坐标 B横坐标 2 70 5 计算主应力及方位角 6 在图上画主单元体 主应力 30 梁的主应力及其主应力迹线 梁发生横力弯曲 M与Q 0 试确定截面上各点主应力大小及主平面位置 单元体上 31 32 主应力迹线 StressTrajectories 主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力 或主压应力 方位 实线表示主拉应力迹线虚线表示主压应力迹线 33 主应力迹线的画法 34 6 3三向应力状态简介 1 空间应力状态 35 6 3三向应力状态简介 2 三向应力分析 1 弹性理论证明 图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点 2 整个单元体内的最大剪应力为 36 例求图示单元体的主应力和最大剪应力 MPa 解 1 由上图知yz面为主面之一 2 建立应力坐标系 画应力圆 37 6 3广义虎克定理 一 单拉下的本构关系 二 纯剪的本构关系 38 6 3广义虎克定理 三 复杂状态下的本构关系 依叠加原理 得 39 6 3广义虎克定理 主单元体本构关系 四 平面应力状态下的应力 应变关系 用应力表示应变的本构关系 40 三个弹性常数之间的关系 6 3广义虎克定理 41 五 体积应变与应力分量间的关系 体积应变 代入本构关系 得到体积应变与应力分量间的关系 6 3广义虎克定理 42 例构件表面上某点的两个面内主应变为 1 240 10 6 2 160 10 6 E 210GPa 0 3 求该点的主应力及另一主应变 故为平面应力状态 43 44 例为测量薄壁容器所承受的内压力 用电阻应变片测得容器表面环向应变 t 350 l0 6 容器平均直径D 500mm 壁厚 10mm E 210GPa 0 25求 1 横截面和纵截面上的正应力表达式2 内压力 45 1 轴向应力 Longitudinalstress 解 容器的环向和纵向应力表达式 容器截开后受力如图所示 据平衡方程 p sm sm x D 46 纵截面将容器截开后受力 2 环向应力 Hoopstress 3 内压 以应力应变关系求之 47 6 5平面应力状态下的应变分析 一般应变状态简介 48 6 5平面应力状态下的应变分析 一般应变符号规定 线应变 使线段伸长的线应变为正 切应变 使直角变小的切应变为正 反之为负 应变分析时 不区分各微面上切应变正负号 应变符号由剪切胡克定理得到 保证符号一致 和应力类似 一般说来 构件内部各点的应变不同 同一点各个方向上的线应变大小也不一样 不用面内的切应变也不同 通过某个方向上的应变来推知其它方向上的应变就叫应变分析 49 6 5平面应力状态下的应变分析 平面应变状态如果和某一方向比如说Z方向相关的应变都为零 则该点处于平面应变状态 应变分析是实验电测构件表面应变的基础 构件表面一般为自由面 因此各点与表面外法线相关的应力为零 因此处于平面应力状态 通过实验可以测定构件表面个点的应变进而利用胡克定理推出该点的应力状态 以及主应力大小和方位 50 6 5平面应力状态下的应变分析 51 6 5平面应力状态下的应变分析 52 6 5平面应力状态下的应变分析 平面应力状态时的应力应变关系 又有 如果取 沿方向有 将上面各式代入有 此式与应力变换公式类似 所以应变分析可以采用应力分析的方法 比如说主应变分析 应变圆等 53 6 5平面应力状态下的应变分析 如果用代替应力分析中的 那么可以得到和主应力求解公式类似的主应变求解公式 切应变不容易直接测量 实验中 一般采用应变花测量该点各个方向上的线应变 经换算可以求出该点的应变状态 如果测得了某点的 那么可以算出构件该点的主应变 然后可以利用下面公式算出主应力 54 6 5平面应力状态下的应变分析 只要测得三个方向上的线应变 就可以根据上式联立求出 55 6 5平面应力状态下的应变分析 45度应变花 60度应变花