FIR数字滤波器的原理与设计.ppt

第七章FIR数字滤波器的原理与设计 宜春学院理工学院 内容提要 7 1线性相移FIR数字滤波器的特性7 2窗口法7 3频率取样法7 4FIR数字滤波器的优化设计7 5IIR数字滤波器与FIR数字滤波器的比较习题及作业 学习目标 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点掌握窗函数设计法理解频率抽样设计法了解设计FIR滤波器的最优化方法理解IIR与FIR数字滤波器的比较 7 1FIR数字滤波器的差分方程 冲激响应 系统函数及其零极点FIR数字滤波器是非递归的线性时不变因果系统 其差分方程为 系统的冲激响应为 可见这个系统的冲激响应是有限长度的 即有限冲激响应 FIR 滤波器 上式两边进行Z变换后 可得FIR滤波器的系统函数 可见 FIR滤波器的系统函数的极点都位于z 0处 为N 1阶极点 与系数h n 无关 因此FIR滤波器总是稳定的 而N 1个零点由冲激响应h n 决定 可以位于有限z平面的任何位置 两种滤波器的比较一 IIRDF的特点1 DF的设计依托AF的设计 有图表可查 方便简单 2 相位的非线性H Z 的频响 其中 是幅度函数 是相位函数 通常 与不是呈线性的 这是IIRfilter 无限长响应滤波器 的一大缺点 因此限制了它的应用 如图象处理 数据传输都要求信道具有线性相位特性 3 用全通网络进行相位校正 可以得线性特性 二 FIRDF的特点1 单位抽样响应h n 是有限长的 因此FIRDF一定是稳定的 2 经延时 h n 总可变成因果序列 所以FIRDF总可以由因果系统实现 3 h n 为有限长 可以用FFT实现FIRDF 4 FIR的系统函数是Z 1的多项式 故IIR的方法不适用 5 FIR的相位特性可以是线性的 因此 它有更广泛的应用 非线性的FIR一般不作研究 FIR与IIR数字滤波器比较 优点 1 很容易获得严格的线性相位 避免被处理的信号产生相位失真 这一特点在宽频带信号处理 阵列信号处理 数据传输等系统中非常重要 2 可得到多带幅频特性 3 极点全部在原点 永远稳定 无稳定性问题 4 任何一个非因果的有限长序列 总可以通过一定的延时 转变为因果序列 所以因果性总是满足 5 无反馈运算 运算误差小 缺点 1 因为无极点 要获得好的过渡带特性 需以较高的阶数为代价 2 无法利用模拟滤波器的设计结果 一般无解析设计公式 要借助计算机辅助设计程序完成 7 2 1线性相移FIR数字滤波器条件 所谓线性相移滤波器 也就是指其相移特性或频率响应的幅角是频率的线性函数 FIR数字滤波器频率响应为 1 恒时延滤波相延时群延时所谓恒延时滤波就是要求相延时与群延时都是不随频率变化的常量 其中有 所谓时延是指信号通过传输通道所需要的传输时间 它是滤波器平均延迟的一个度量 它是滤波器某一频率延迟的一个度量 7 2线性相移FIR数字滤波器 2 要求恒相延时与恒群延时同时成立 如图7 1 的图像是一条经过原点的直线 式中H 是正或负的实函数 等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等 同样实部与虚部的比值应当相等 由上式交叉相乘后利用三角函数恒等公式得 满足上式的条件是 上述条件下 就有 即 为一常数 恒相延时与恒群延时同时成立 如上所述 冲激相应h n 关于中心点偶对称 由图7 2可见无论N是偶数还是奇数 对称中心都位于 N 1 2 只是当N为偶数时 N 1 2不是整数 图7 2h n 为偶对称的情形 3只要求恒群延时成立 相移特性为一条不经过原点的直线 如下图可见冲激响应关于中心点奇对称 无论N为奇数还是偶数 对称中心都位于 N 1 2 当N为奇数时有 图7 4h n 为奇对称的情形 总之 线性相移FIR滤波器的必要条件是其冲激响应为偶对称或奇对称 7 1 2线性相移FIR滤波器的网络结构 1 偶对称的情形 偶对称时 a N为偶数时 利用对称性可作如下化简 b N为奇数时 利用对称性可作如下化简 可见 以其偶对称性作这样的简化可以使FIR滤波器比一般的直接型结构的乘法器减少一半 2 奇对称的情形 奇对称时 a 当N为偶数时 b 当N为奇数时 可见 以其奇对称性作这样的简化可以使FIR滤波器比一般的直接型结构的乘法器减少近一半 7 2 3线性相移FIR滤波器的频率响应 1 偶对称 N为奇数 则其频率响应为 则 图7 5偶对称 N为奇数 该类滤波器适合于设计任何关于为偶对称特性频率的滤波器 特点 对皆为偶对称 所以幅度函数对也是偶对称 2 偶对称 N为偶数 其频率响应为 图7 6偶对称 N为偶数 3 奇对称 N为奇数 推导方法与前面类似 可得 其幅频特性为 图7 7奇对称 N为奇数 4 奇对称 N为偶数 推导方法与前面类似 可得 其幅频特性为 图7 8奇对称 N为偶数 这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器 如低通滤波器 特点 当时 相当于在z 1处有一个零点 并且由于对呈奇对称 对呈偶对称 因而也对呈奇对称 对呈偶对称 以上四种情况可以用统一的形式 即 其中 的实函数 相移由 决定 而 的线性函数 当h n 为偶对称时 当h n 为奇对称时 图7 94种类型的线性相位滤波器的相位响应 时域幅度响应和频域幅度响应的示意图 总结 第一种情况 偶 奇 四种滤波器都可设计 第二种情况 偶 偶 可设计低 带通滤波器 不能设计高通和带阻 第三种情况 奇 奇 只能设计带通滤波器 其它滤波器都不能设计 第四种情况 奇 偶 可设计高通 带通滤波器 不能设计低通和带阻四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h n 的对称性 而与h n 的值无关 幅度特性取决于h n 设计FIR数字滤波器时 在保证h n 对称的条件下 只要完成幅度特性的逼近即可 例1N 5 h 0 h 1 h 3 h 4 1 2 h 2 2 求幅度函数H 解 a 0 h 2 2 a 1 2h 3 1 a 2 2h 4 1 H 2 cos cos2 2 cos cos2 分析 为奇数 并且h n 满足偶对称关系 7 2 4线性相移FIR数字滤波器的零 极点分布 线性相移FIR滤波器有 即 当为实数时 为实系数的多项式 此时应是共轭成对的 则也是零点 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对 这种共轭对共有四种 1 既不在单位圆上 也不在实轴上 有四个互为倒数的两组共轭对 如图zi z i 1 zi 1 z i 2 在单位圆上 但不在实轴上 因倒数就是自己的共轭 所以有一对共轭零点 zi z i 图7 10 a 零点分布 3 不在单位圆上 但在实轴上 是实数 共轭就是自己 所以有一对互为倒数的零点 zi 1 zi 线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种 应用最广 实际使用时应根据需用选择其合适类型 并在设计时遵循其约束条件 图7 10 b 零点分布 7 3FIR数字滤波器的设计 窗口法 7 3 0引言设计思路 1 先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd ejw 2 设计一个可实现的FIR滤波器频率响应H ejw 3 由于设计是在时域中进行 使所设计滤波器的h n 去逼近理想单位取样响应hd n 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 那么FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数去逼近 逼近方法有三种 窗口设计法 时域逼近 频率采样法 频域逼近 最优化设计 等波纹逼近 时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手 使h n 逼近理想的单位脉冲响应序列hd n 我们知道hd n 可以从理想频响通过付氏反变换获得 但一般来说 理想频响是矩形频率特性 所以 这样得到的理想单位脉冲响应hd n 往往都是无限长序列 而且是非因果的 但FIR的h n 是有限长的 问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd n 最简单的办法是直接截取一段hd n 代替h n 这种截取等效于在hd n 上施加了一个长度为N的矩形窗 h n 是通过一个 窗口 所看到的一段 因此 h n 也可表达为h n 和一个 窗函数 的乘积 即h n w n hd n 这一方法通常称为窗口设计法 设计步骤 1 由定义 3 卷积 插值 7 3 1窗口法的基本思想 1 设计思想在时域 设计逼近理想 下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程 为一 以为对称中心的 偶对称的 无限长的 非因果序列 图7 11理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取 要得到有限长的 最简单的方法是用一长为的矩形窗截断 按照线性相位滤波器的要求 必须偶对称 如上图 对称中心必须等于滤波器的延时常数 FIR滤波器的冲击响应h n 的频响H ejw 一定与理想的频响Hd ejw 存在差异 图7 12理想低通滤波器的频率响应 7 3 2理论分析 可见 WR ejw 是w的偶函数 7 13矩形窗的频谱 7 14矩形窗的卷积过程 正肩峰 负肩峰 图7 15由 wc到wc区间曲线WR ej w q 下面积随w取值变化演示 图7 16加矩形窗后的频响与理想频响的比较 对加矩形窗处理后其频率响应将产生以下几点影响 1 当w 0时 主瓣位于积分区间内 随着w的移动不同大小的正 负旁瓣移出或移入积分区间 使得H ejw 的大小产生波动 主瓣附近窗的频率响应为 随着N的加大 振荡变密 主瓣变窄 主瓣与旁瓣的幅度亦有所加大 但主瓣与旁瓣的相对比例不变 吉布斯现象 个负值却还在此区间内 使得H ejw 取值最小值 0 0895H ej0 称为下臂峰 5 w p时 H ejw 随着区间内旁瓣的移动而在阻带内波动 另外 图7 16表示了0到p范围内H ejw 变化的情况 0到 p的图形变化与此对称 如图7 17 且以2p为周期 途中假定H ej0 1 在 为过渡带 3 当w wc时 即主瓣中心移到了wc处 此时 7 17 由图可见 加矩形框后得到的滤波器的频响与理想频响之间存在差异 表现出肩峰 过渡带及在通带和阻带内的波动 只有肩峰和波动尽可能小 而且过渡带尽可能窄 才能更接近理想特性 综上 窗口法设计FIR滤波器 h n 长度N增大可使过度带变窄 而所选窗函数不仅影响过渡带的宽度 还能影响肩峰和波动的大小 光束 7 3 3几种常用窗函数 2 三角形窗 BartlettWindow 其频率响应为 主瓣宽度为 1 矩形窗 其频率响应和幅度响应分别为 是三项矩形窗的幅度响应的移位加权和 它使旁瓣相互抵消 能量更集中在主瓣 但主瓣宽度比矩形窗的主瓣加宽了一倍 为 3 汉宁 Hanning 窗 又称升余弦窗 下图为N 31时 矩形窗 三角窗 汉宁窗 汉明窗及布莱克曼这5种窗口函数的包络曲线 下图为N 51时矩形窗 汉宁窗 汉明窗及布莱克曼4种窗口函数的幅度响应 下图为N 5时用矩形窗 汉宁窗 汉明窗及布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应 5 凯塞 Kaiser 窗 是一个可选参数 用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系 一般说来 越大 过渡带越宽 阻带越小衰减也越大 I0 是第一类修正零阶贝塞尔函数 一般取15 25项就可满足精度要求 若阻带最小衰减表示为As 20lg s 的确定可采用以下经验公式 凯泽窗 各种窗函数的主要性能 7 3 4 窗函数法的设计1 设计步骤 1 给定频响函数 2 求出单位抽样响应 3 根据过渡带宽度和阻带最小衰减 借助窗函数基本参数表 P202表3 确定窗的形式及N的大小 4 最后求及2 设计举例 例 分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器 具体要求 其他 并画出相应的频响特性 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 确定N由于相位函数 所以呈偶对称 其对称中心为 因此 3 加矩形窗 则有 可以求出h n 的数值 注意偶对称 对称中心 由于h n 为偶对称 N 25为奇数 所以 例如H 0 0 94789 可以计算的值 画如下图 4 加汉宁窗由于可以求出序列的各点值 通过可求出加窗后的h n 相应幅度函数可用下式求得 如H 0 0 98460 图如下 2 求hd n 4 确定N值 3 选择窗函数 由确定海明窗 53dB 5 确定FIR滤波器的h n 6 求 验证 若不满足 则改变N或窗形状重新设计 5 线性相位FIR高通滤波器的设计 其单位抽样响应 理想高通的频响 6 线性相位FIR带通滤波器的设计 其单位抽样响应 理想带通的频响 7 线性相位FIR带阻滤波器的设计 其单位抽样响应 理想带阻的频响 4 设计举例 利用凯泽窗设计一FIR低通filter 要求 解 经验公式 取38 将N 38 5 653代入表达式 得 0370 01 0000 02040 02 1361 83362 0300 04150 04 2352 55683 3450 07040 07 8294 654819 960 40820 41 3343 0865 2510 10740 11 4333 51117 4410 15220 15 5323 865610 110 20670 21 6314 167813 100 26790 29 7304 428616 440 33620 34 9284 851223 830 48730 49 0 4 8 12 16 18 19 25 29 33 37 21 的图形如右所示 7 4 频率抽样法 一 设计思想 窗函数设计法是从时域出发 把理想的用一定 形状的窗函数截取成有限长的 以来近似 从而使频响近似理想频响 频率取样法是从频域出发 对理想的频响 进行等间隔取样 以有限个频响采样去近似理想频响 即 等间隔取样 并且 二 利用N个频域采样值重构FIR的系统函数与频响 1 重构FIR的的单位抽样响应h n 根据频域抽样理论 由N个频域采样点 可以唯一确定h n 即对H k 进行IDFT 2 重构系统函数H Z 3 FIR的频响 将代入表达式可得 其中 为大家所知的内插函数 分析可知 当时 采样点 有 这说明 重构的频响 在采样上严格等于H k 而在采样点之间 频响则由加权的内插函数延伸叠加而成 三 线性相位的约束条件 以h n 为偶对称 N为奇数的情况进行分析 1 FIR的频响具有线性相位的一般表达式 当h n 为偶对称 N为奇数时 则 而且幅度函数应为偶对称 即 2 采样值H k 具有线性相位的约束 其中 表示采样值的模 纯标量 表示 其相角 因此 在采样点上具有线性相位的条件应为 而且 必须满足偶对称 即 四 设计步骤 1 根据指标要求 画出频率采样序列的图形 2 依据的对称特点 可以使问题得以简化 3 根据线性相位的约束条件 求出 4 将代入FIR的频响表达式 5 由的表达式画出实际频响 四 设计举例 例 试用频率采样法 设计一个具有线性相位 的低通FIR数字filter 其理想频率特性为 已知 采样点N 33 由于h n 为偶对称 且N 33为奇数 所以对于 是偶对称 所以上图可画一半 到 截止频率 即 解 相位约束条件 而为 将代入FIR的频响 得 考虑到时 所以将负频部分加进去 有 的图形如下所示 0 五 IIR和FIR数字滤波器的比较 IIR滤波器 FIR滤波器 h n 无限长 h n 有限长 极点位于z平面任意位置 滤波器阶次低 非线性相位 递归结构 不能用FFT计算 可用模拟滤波器设计 用于设计规格化的选频滤波器 极点固定在原点 滤波器阶次高得多 可严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用FFT计算 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器