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第7章 数系的扩充与复数1虚数单位i(1)i21(即1的平方根是i)(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立(3)i的幂具有周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)，则有inin1in2in30(nN)2复数的分类复数abi，(a，bR)3共轭复数设复数z的共轭复数为，则(1)z|z|2|2；(2)z为实数z；z为纯虚数z.4复数相等的条件复数相等的充要条件为abicdiac，bd(a，b，c，dR)特别地，abi0ab0(a，bR)5复数的运算(1)加法和减法运算：(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a，b，c，dR)(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化复数的概念例1复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？解(1)一个复数是实数的充要条件是虚部为0，由得x4，经验证满足式当x4时，zR.(2)一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，解得即x4.当x4时，z为虚数(3)一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，解得无解复数z不可能是纯虚数解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域1若复数z(2i)为纯虚数，求实数a.解：z(2i)(2i)(2i)i为纯虚数，0，即a6.2已知z(x0)，且复数z(zi)的实部减去它的虚部所得的差等于，求.解：z(zi)i.根据题意，得x213.x0，x2.3i.复数的四则运算例2计算：(1)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)原式1i.(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i21.3计算.解：1.4若复数z12i(i为虚数单位)，求zz.解：z12i，12i.zz(12i)(12i)(12i)512i62i.复数问题实数化例3设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z2iz8ai(aR)试求a的取值范围解设zxyi(x，yR)，则xyi.由(1)，知x0，y0.又z2iz8ai(aR)，故(xyi)(xyi)2i(xyi)8ai，即(x2y22y)2xi8ai.消去x，整理，得4(y1)236a2，y0，4(y1)20.36a20.6a6.又2xa，而x0，a0.6a0.所以a的取值范围为6,0)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设zxyi(x，yR)，依据是复数相等的充要条件5已知复数z(1i)213i.(1)求|z|；(2)若z2azb，求实数a，b的值解：z(1i)213i2i13i1i.(1)|z|.(2)z2azb(1i)2a(1i)b2iaaibab(a2)i，1i，ab(a2)i1i，a3，b4.复数的几何意义例4已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，(xyi)(2i)(2xy)(2yx)i.由题意知z42i.(zai)24(a2)i2(124aa2)8(a2)i，由已知得2a6.实数a的取值范围是(2,6)复数zabi(a，bR)和复平面上的点P(a，b)一一对应，和向量一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键6设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1(10a2)i，z2(2a5)i，aR，若1z2可以与任意实数比较大小，求的值解：1(10a2)i，则1z2(a210)(2a5)i的虚部为0，a22a150.解得a5或a3.又a50，a3.则z1i，z21i.，(1,1)，.
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