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按一下以編輯母片標題樣式,歐亞書局,歐亞書局,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,歐亞書局,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,5.6,指數成長與衰減,學習目標,以指數成長與衰減作為現實生活的模型。,P.5-39,第五章指數與對數函數,指數成長與衰減,本節將學習如何去建立,指數成長與衰減,的模型。現實生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即,在任一時間,t,的變化率正比於當時的物質數量,。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。,P.5-39,第五章指數與對數函數,指數成長與衰減,在上式中,k,為常數，而,y,為,t,的函數，下面即為此方程式的解。,P.5-39,第五章指數與對數函數,指數成長與衰減（證明）,因為,y,的變化量與,y,成正比，所以,顯然,y,Ce,kt,為方程式的解，因為對,y,微分可得,dy,/,dt,kCe,kt,，再代入方程式也得,P.5-39,第五章指數與對數函數,學習提示,在模型,y,Ce,kt,中，,C,稱為起始值，因為當,t,0,時，,y,Ce,k,(0),C,(1),C,。,P.5-39,第五章指數與對數函數,指數成長與衰減,放射性物質的衰減是以,半衰期,(half-life),來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列。,鈾,(,238,U)4,470,000,000,年,鈽,(,239,Pu),24,100,年,碳,(,14,C),5,715,年,鐳,(,226,Ra),1,599,年,鑀,(,254,Es),276,天,鍩,(,257,No),25,秒,P.5-40,第五章指數與對數函數,範例,1,放射性物質衰減的模型,某樣本中有,1,公克的鐳，試問,1000,年後的鐳殘留物是否多於,0.5,公克？,P.5-40,第五章指數與對數函數,範例,1,放射性物質衰減的模型,（,解,）,令,y,表示在樣本中的鐳物質,(,公克,),。因為衰減率正比於,y,，所以應用指數衰減律可知,y,的形式為,y,Ce,kt,，其中,t,為時間,(,年,),。已知當,t,0,時,y,1,，代入模型可得,1,Ce,k,(,0,),以,1,代入,y,，,0,代入,t,因此,C,1,。因為鐳的半衰期為,1599,年，所以當,t,1599,時,y,1/2,，再代入模型即可解得,k,。,P.5-40,第五章指數與對數函數,所以,k,0.0004335,，故指數衰減模型為,y,e,0.0004335,t,範例,1,放射性物質衰減的模型,（,解,）,P.5-40,第五章指數與對數函數,範例,1,放射性物質衰減的模型,（,解,）,P.5-40,第五章指數與對數函數,若要求,1000,年後的鐳殘留量，將,t,1000,代入模型，經計算可得,y,e,0.0004335(,1000,),0.648,公克,亦即，,1000,後仍有超過,0.5,公克的鐳，此模型的圖形如圖,5.19,所示。,範例,1,放射性物質衰減的模型,（,解,）,P.5-40,圖,5.19,第五章指數與對數函數,檢查站,1,以範例,1,的模型來計算,1,公克樣本的鐳衰減為,0.4,公克時所需的時間。,P.5-40,第五章指數與對數函數,其實不必像範例,1,使用,k,的近似 值，可以直接在模型中代入,k,的正確值，可得模型,這個公式清楚地顯示半衰期：當,t,1599,，,y,值為,1/2,，當,t,2(1599),，,y,值為 ，以此類推。,指數成長與衰減,P.5-405-41,第五章指數與對數函數,指數成長與衰減,P.5-41,第五章指數與對數函數,範例,2,數量成長的模型,研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。,2,天後有,100,隻，,4,天後有,300,隻果蠅，則,5,天後有幾隻果蠅？,P.5-41,第五章指數與對數函數,範例,2,數量成長的模型,（,解,）,令,y,為果蠅在時間,t,的數量。已知當,t,2,時，,y,100,和當,t,4,時，,y,300,，代入模型,y,Ce,kt,得,100,Ce,2,k,和,300,Ce,4,k,若要解,k,，先解出第一方程式中的,C,，再代入第二方程式。,P.5-41,第五章指數與對數函數,範例,2,數量成長的模型,（,解,）,P.5-41,第五章指數與對數函數,因為,，可得,C,100/,e,2(0.5493),33,。即指數成長模型為,y,33,e,0.5493,t,如圖,5.20,所示。所以，,5,天後果蠅的數量有,y,33,e,0.5493(,5,),514,隻,範例,2,數量成長的模型,（,解,）,P.5-41,第五章指數與對數函數,範例,2,數量成長的模型,（,解,）,P.5-41,圖,5.20,第五章指數與對數函數,代數技巧,範例,2,的計算過程可參考本章代數複習範例,1(c),。,P.5-41,第五章指數與對數函數,檢查站,2,如果果蠅數量,2,天後有,100,隻，,4,天後有,400,隻，求其指數成長模型。,P.5-41,第五章指數與對數函數,範例,3複利的模型,在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在,6,年後增值為兩倍，試問其年利率為何？,P.5-41,第五章指數與對數函數,範例,3複利的模型,（,解,）,以連續複利計算的銀行帳戶餘額,A,可表示為指數成長模型,A,Pe,rt,指數成長模型,其中,P,為原始存款值，,r,為年利率,(,以小數表示,),且,t,為時間,(,年,),。已知,t,6,時，,A,2,P,，如圖,5.21,所示，即可解得,r,。,P.5-42,第五章指數與對數函數,範例,3複利的模型,（,解,）,P.5-42,圖,5.21,第五章指數與對數函數,範例,3複利的模型,（,解,）,所以，年利率為,或者大約,11.55%,。,P.5-42,第五章指數與對數函數,檢查站,3,已知以連續複利計算的帳戶餘額在,8,年後恰增值為兩倍，求年利率。,P.5-42,第五章指數與對數函數,指數成長與衰減,本節的例子都是使用以,e,為底數的指數成長模型,y,Ce,kt,，此模型其實可以,任意數,為底數。換言之，模型,y,Ca,bt,也可以是指數成長模型,(,因為該模型可寫成,y,Ce,(ln,a,),bt,),。在某些現實生活的例子，不以,e,為底數反而較方便。,P.5-42,第五章指數與對數函數,譬如在範例,1,中，因為鐳的半衰期是,1599,年，所以指數衰減模型可寫成,根據此模型，樣本中的鐳的同位素數量在,1000,年後剩下,也吻合範例,1,的結果。,指數成長與衰減,P.5-42,第五章指數與對數函數,範例,4,銷售量模型化,在停止全國性電視廣告後的,4,個月，某製造商發現,MP3,的銷售量從,100,000,台減為,80,000,台。若銷售量是以指數衰減來變化，再過,4,個月後的銷售量為何？,P.5-42,第五章指數與對數函數,範例,4,銷售量模型化,（,解,）,令,y,為,MP3,的銷售量，,t,為時間,(,月,),，並考慮指數衰減模型,y,Ce,kt,指數衰減模型,從已知條件可知當,t,0,時，,y,100,000,，即,100,000,Ce,0,P.5-42,第五章指數與對數函數,範例,4,銷售量模型化,（,解,）,所以,C,100,000,。若要解,k,，則須利用當,t,4,時，,y,80,000,的條件，所以,P.5-43,第五章指數與對數函數,則,，所以此模型為,y,100,000,e,0.0558,t,再過,4,個月,(,t,8),，銷售量將衰減為,y,100,000,e,0.0558(,8,),64,000,台,MP3,如圖,5.22,所示。,範例,4,銷售量模型化,（,解,）,P.5-43,第五章指數與對數函數,範例,4,銷售量模型化,（,解,）,P.5-43,圖,5.22,第五章指數與對數函數,檢查站,4,根據範例,4,的模型，請問,MP3,的銷售量何時會掉到,50,000,台？,P.5-43,總結,(5.6,節,),寫出指數成長與衰減的模型，參考範例,1,、,2,、,3,及,4,。,寫出指數成長與衰減模型的準則，參考範例,2,、,3,及,4,。,寫出指數衰減模型的生活實例，參考範例,1,和,4,。,寫出指數成長模型的生活實例，參考範例,2,和,3,。,P.5-43,
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