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1.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题()2解决应用问题的关键是建立数学模型()类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解V(x)(x)2(602x)x2(602x)2x360x2(0x30)V(x)6x2120x6x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0x0；当20x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为x20(cm)，高为(30x)10(cm)，即高与底面边长的比值为.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解AEx，HEx.EF602x，EGEF(602x)(30x)S侧4HEEG4x(30x)8x(30x)8x2240x8(x15)28152.当x15时，S侧最大为1 800 cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验跟踪训练1(1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题(2)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求面积的最值问题答案(1)(2)解析(1)设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.h，又圆柱的体积Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0，得S6r2，h2r，V(r)只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大又r，h2.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.(2)设弯成圆的一段铁丝长为x(0x100)，则另一段长为100x.设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长a，圆的半径r.故S22(0x100)因此S，令S0，则x.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在，故当x cm时，面积之和最小类型二实际生活中的最值问题例2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x.所以W(2)当00，当x(9,10)时，W10时，W9898238，当且仅当2.7 x，即x时，Wmax38，综上可得，当x9时，W取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)m(512)令f(x)0，得512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)上为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0；当5x0，故当x5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)6570.答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8 B.C1 D8考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解生活中的其他最值问题答案C解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A. cm B. cmC. cm D. cm考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案B解析设圆锥的高为h cm,0h0，当h时，V0)，S(x34V)令S0，得x，可判断当x时，S取得最小值2如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.3 B.3C.3 D.3考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h.Vr2hr22r3，则Vlr6r2.令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.3某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是()A150 B200C250 D300考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析由题意得，总利润P(x)当0x390时，令P(x)0，得x300，又当x390时，P(x)70 090100x为减函数，所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大，故选D.4若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A4 B6C4.5 D8考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案A解析设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h.S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，当x8时，S(x)取得最小值h4.5某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(00)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y0，f(x)是单调递增的，当x时，f(x)0，f(x)是单调递减的，当x时，f(x)取最大值.9统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以_千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案80解析当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，yx2(0x120)则y(0x120)令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数递增，所以当x80时，y取得最小值10某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案20解析设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函数f(x)的最小值点，故当x20时，f(x)最小11某厂生产某种产品x件的总成本为C(x)1 200x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为_件时总利润最大考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题答案25解析由题意知502，解得k25104.产品的单价P.总利润L(x)x1 200x35001 200x3，L(x)250xx2，令L(x)0，得x25，当x25时，总利润最大12.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m时，帐篷的体积最大考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案2解析设OO1x，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为.于是底面正六边形的面积为6()2(82xx2)帐篷的体积为V(x)(82xx2)(1612xx3)则V(x)(123x2)令V(x)0，解得x2(不合题意，舍去)或x2.当1x0，V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0，即r0得2r2；令y0得0r0，得520，即0x，由y0，得520，即x10，即当x时，函数取得极大值同时也是最大值，此时y.15某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x0，f(x)是增函数；当x时，f(x)0，f(x)是减函数所以当x时，f(x)取极大值，f20 000.因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值所以当x时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元
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