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第二章 数列滚动训练(三)一、填空题1在ABC中，AB，A45，C75，则BC_.考点正弦定理的应用题点正弦定理的应用答案3解析设角A，B，C的对边分别为a，b，c.AB，A45，C75，由正弦定理，得，解得BC3.2记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为_考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案4解析设公差为d，a4a5a13da14d2a17d24，S66a1d6a115d48，联立解得d4.3在ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2c2a2bc，且bc8，则ABC的面积等于_考点用余弦定理解三角形题点逆用面积公式、余弦定理解三角形答案2解析因为b2c2a2bc，所以cosA，A，三角形面积SbcsinA2.4我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯_盏考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题答案3解析由题可知，塔每一层的灯数由上至下构成等比数列设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.5在梯形ABCD中，ABCD，AB1，AC2，BD2，ACD60，则AD_.考点几何图形中的计算问题题点四边形有关的几何图形计算问题答案解析在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos60，解得BC，所以AC2AB2BC2，故BCAB，在RtBCD中，CD3，在ACD中，由余弦定理得AD2AC2CD22ACCDcos607，所以AD.6已知ABC的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是_考点用正弦、余弦定理解三角形题点用正弦、余弦定理解三角形答案解析设三边长分别为x1，x，x1，所以，所以cosA，解得x5，则三边长为4,5,6，所以cosA.7等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_.考点等比数列前n项和题点等比数列的前n项和有关的基本量计算问题答案32解析设an的首项为a1，公比为q，由题可知q1，则解得所以a8272532.8已知an是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列|log2an|的前10项和为_考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合答案58解析根据题意q3，所以q，从而有an32n1272n，所以log2an72n，所以有|log2an|2n7|，所以数列的前10项和为53113579111358.9等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.考点数列前n项和的求法题点裂项相消法求和答案解析设等差数列an的公差为d，则由得Snn11，2.22.10某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中ABC60，BCD135，AB80nmile，BC4030nmile，CD250nmile.现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是_nmile.考点解三角形求距离题点测量方向角求距离答案100解析在ABC中，AC2802(4030)2280(4030)cos607500，则AC50，所以sinACB，所以cosACB，sinACDsin，则cosACD，AD2(50)2(250)2250250，可得AD50350，设收到指令时该轮船到城市C的距离是x，则，求得x100.11若等比数列an的公比为，且a1a3a9960，则an的前100项和为_考点数列前n项和的求法题点分组求和法答案80解析令Xa1a3a9960，Ya2a4a100，则S100XY，由等比数列前n项和性质知：q，所以Y20，即S100XY80.二、解答题12ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积考点几何图形中的计算问题题点三角形有关的几何图形计算问题解(1)由已知可得tanA，又A(0，)，所以A.在ABC中，由余弦定理，得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面积与ACD的面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.13如图，已知平面上直线l1l2，A，B分别是l1，l2上的动点，C是l1，l2之间的一定点，C到l1的距离CM1，C到l2的距离CN，ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，ab，且bcosBacosA.(1)判断ABC的形状；(2)记ACM，f()，求f()的最大值考点正弦、余弦定理与其他知识的综合题点正弦、余弦定理与三角函数的综合解(1)由正弦定理得，且bcosBacosA，得sin2Bsin2A，又ab，所以AB，且A，B(0，)，所以2A2B，所以C，所以ABC是直角三角形(2)ACM，由(1)得BCN，则AC，BC，f()cossincos，所以当时，f()的最大值为.14已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连结点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.考点数列前n项和的求法题点错位相减法求和解(1)设数列xn的公比为q.由题意得所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.三、探究与拓展15在ABC中，若，则ABC的形状一定是_考点判断三角形形状题点利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状答案等腰或直角三角形解析原式可化为sin2Asin(AB)sin(AB)sin2Bsin(AB)sin(AB)0sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB0sin2Asin2B0sin2Asin2BAB或AB，故该三角形是等腰或直角三角形16已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN*，bn是an和an1的等比中项(1)设cnbb，nN*，求证：数列cn是等差数列；(2)设a1d，Tn (1)kb，nN*，求证：.考点数列综合问题题点数列与不等式的综合证明(1)由题意得banan1，cnbban1an2anan12dan1.因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差数列(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1)所以.
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