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专题突破练21直线与圆及圆锥曲线1.(节选)在周长为定值的ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cos C有最小值为.(1)建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.(2)略.2.(2018河北唐山一模,理20)已知椭圆:=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AMBM.当ABl时,M与F重合.(1)求椭圆的方程;(2)若直线BM交椭圆于P,Q两点,且APAQ,求m的值.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=x-被圆M所截的弦长为,且圆心M在直线l的下方.(1)求圆M的方程;(2)设A(0,t),B(0,t+6)(-5t-2),若圆M是ABC的内切圆,求ABC的面积S的最大值和最小值.5.(2018宁夏银川一中一模,理21)已知椭圆=1(ab0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且=4,求y0的值.6.(2018河北唐山三模,理20)已知点A(-2,0),点B(-1,0),点C(1,0),动圆O与x轴相切于点A,过点B的直线l1与圆O相切于点D,过点C的直线l2与圆O相切于点E(D,E均不同于点A),且l1与l2交于点P,设点P的轨迹为曲线.(1)证明:|PB|+|PC|为定值,并求的方程;(2)设直线l1与的另一个交点为Q,直线CD与交于M,N两点,当O,D,C三点共线时,求四边形MPNQ的面积.参考答案专题突破练21直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设|CA|+|CB|=2a(a3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以焦距2c=|AB|=6,cos C=-1.又|CB|CA|2=a2,所以cos C1-,由题意得1-,a2=25.此时|PA|=|PB|,P点坐标为(0,4).点C的轨迹方程为=1(y0).2.解 (1)依题意得A(0,b),F(-c,0),当ABl时,B(-3,b),由AFBF得kAFkBF=-1,又b2+c2=6,解得c=2,b=所以,椭圆的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),依题意,显然m0,所以kAM=-,又AMBM,所以kBM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).y=(x-m)与=1联立得(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=|PM|QM|=1+|(x1-m)(x2-m)|=1+|x1x2-m(x1+x2)+m2|=1+=,|AM|2=2+m2,由APAQ得|AM|2=|PM|QM|,所以=1,解得m=1.3.解 (1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A,连接AB,则|AB|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|AB|=4.所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OBCD,则设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0= .则kOB=,kAB=,则直线AB的方程为y=(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解 (1)设圆心M(a,0),由已知得圆心M到直线l:8x-6y-3=0的距离为,又圆心M在直线l的下方,8a-30,8a-3=5,a=1.故圆M的方程为(x-1)2+y2=1.(2)由题意设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.由方程组得C点的横坐标为x0=|AB|=t+6-t=6,S=6=,由于圆M与AC相切,所以1=,k1=;同理,k2=,k1-k2=,S=61-,-5t-2,-2t+31,-8t2+6t+1-4,Smax=61+=,Smin=61+=,ABC的面积S的最大值为,最小值为5.解 (1)由e=,得3a2=4c2,再由c2=a2-b2,得a=2b,由题意可知,2a2b=4,即ab=2.解方程组所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)可知A(-2,0).设B点的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,由-2x1=得x1=,从而y1=设线段AB的中点为M,则M的坐标为.以下分两种情况:(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0).线段AB的垂直平分线为y轴,于是=(-2,-y0),=(2,-y0),=4,得y0=2(2)当k0时,线段AB的垂直平分线方程为y-=-x+.令x=0,解得y0=-由=(-2,-y0),=(x1,y1-y0),=-2x1-y0(y1-y0)=4.整理得7k2=2,故k=,所以y0=综上y0=2或y0=6.解 (1)由已知可得|PD|=|PE|,|BA|=|BD|,|CE|=|CA|,所以|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|PC|=|PE|+|PC|+|AB|=|CE|+|AB|=|AC|+|AB|=4|BC|.所以点P的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点),可求的方程为=1(y0).(2)由O,D,C三点共线及圆的几何性质,可知PBCD,又由直线CE,CA为圆O的切线,可知CE=CA,OA=OE,所以OACOEC,进而有ACO=ECO,所以|PC|=|BC|=2,又由椭圆的定义,|PB|+|PC|=4,得|PB|=2,所以PBC为等边三角形,即点P在y轴上,点P的坐标为(0,).()当点P的坐标为(0,)时,PBC=60,BCD=30,此时直线l1的方程为y=(x+1),直线CD的方程为y=-(x-1),由整理得5x2+8x=0,得Q-,-, 所以|PQ|=,由整理得13x2-8x-32=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=,x1x2=-,|MN|=|x1-x2|=,所以四边形MPNQ的面积S=|PQ|MN|=()当点P的坐标为(0,-)时,由椭圆的对称性,四边形MPNQ的面积为综上,四边形MPNQ的面积为
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