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活页作业(十一)数学归纳法与贝努利不等式一、选择题1用数学归纳法证明“(nN)”,从nk到nk1时,等式左边需增添的项是()ABC D解析:当nk(kN)时,等式的左边;当nk1时,等式的左边.所以从nk到nk1时,等式的左边需增添的项为.答案:D2对于正整数n,下列说法不正确的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n10.1n D0.1n10.9n解析:由贝努利不等式(1x)n1nx(x1,nN),可知当x2时,(12)n12n,A项正确;当x0.1时,(10.1)n10.1n,B项正确,C项不正确;当x0.9时,(10.9)n10.9n,D项正确答案:C3设数列an的前n项和为Sn,且a11,Snn2an(nN)试归纳猜想出Sn的表达式为()ABCD解析:因为a11,所以S11.又S24a2a1a2,所以3a21.所以a2,S2.又S39a3S2a3,所以8a3.所以a3.所以S3.由此可猜想Sn(nN)答案:A4对于不等式n1(nN),某学生用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n1时命题显然成立(2)假设nk(kN,k1)时原不等式成立,即k1,则当nk1时,左边1nx(x1且x0,n1,nN)等价的不等式是_.(填序号)(1x)n1nx(x1,nN)(1x)n1nx(x1且 x0,n1,nN)(1x)n1nx(x1,nN)(1x)n1nx(x1,n1,nN)解析:在贝努利不等式中,令xt,因为x1且x0,所以t1nt(t1,nN)答案:6设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)k2成立时,总可推出f(k1)(k1)2成立那么下列结论正确的是_.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立;若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立;若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)12;当n2时,2222;当n3时,2352.猜想:当n5时,2nn2.下面用数学归纳法证明:(1)当n5时,2552成立(2)假设当nk(kN,k5)时,2kk2,那么当nk1时,2k122k2k2kk2(11)kk2CCCk22k1(k1)2.当nk1时,2nn2也成立由(1)(2),可知对n5的一切自然数,2nn2都成立综上,当n1或n5时,2nn2;当n2,4时,2nn2;当n3时,2n,f(3)1,f(7),f(15)2,.(1)由上述不等式你能得到怎样的结论?并给出证明(2)是否存在一个正数T,使得对任意的正整数n,恒有不等式f(n)(nN)下面用数学归纳法证明:当n1时,f(211)f(1)1,所以不等式成立假设当nk(k1,kN)时不等式成立,即f(2k1),则当nk1时,f(2k11)f(2k1)f(2k1) 2k个f(2k1).当nk1时不等式也成立由,可知对任何nN,原不等式均成立(2)对任意给定的正数T,设它的整数部分为T,记mT1,则mT.由(1),知f(22m1)m.f(22m1)T.这说明,对任意给定的正数T,总能找到正整数n22m1,使得f(n)T.不存在正数T,使得对任意的正整数n,恒有不等式f(n)(nk,nN)”时,起始值k最小为()A7 B8C9 D10解析:对不等式的左边求和,得Sn2.由Sn,得1n,即n.则n7.故起始值k最小为8.答案:B二、填空题3设a,b均为正实数,已知M(ab)n,Nannan1b,nN,则M,N的大小关系为_.提示:利用贝努利不等式,令x解析:令x,由贝努利不等式(1x)n1nx(x1,nN),得n1n,即n1n,即(ab)nannan1b.故MN.答案:MN4设an是首项为1的正项数列,且(n1)anaan1an0(n1,2,3,),则它的通项公式是_.解析:令n1,则2aa1a2a0.a11,2aa210.a20,a2.同理可求得a3.于是猜想an(nN)下面用数学归纳法证明:(1)当n1时,a1成立(2)假设当nk(k1,kN)时,ak成立,则当nk1时,由(k1)akaak1ak0,可得(k1)aak10,即k(k1)aak110.ak1(舍去)或ak1.故当nk1时,ak1成立综合(1)(2),知对任意的nN,总有an成立答案:an(nN)三、解答题5已知函数f(x)ax12a(a0),当a时,有f(x)ln x(x1)求证:1ln(n1)(nN)证明:用数学归纳法证明(1)当n1时,左边1,右边ln 2ln(k1).那么当nk1时,1ln(k1)ln(k1).由题意,可知当a时,有f(x)ln x(x1)令a,有f(x)lnx(x1)令x,得lnln(k2)ln(k1)ln(k1)ln(k2).1ln(k2),这就是说,当nk1时不等式也成立根据(1)和(2),可知不等式对任何nN都成立6已知函数f(x)x3x,数列an满足条件:a11,an1f(an1)试比较与1的大小,并说明理由解:231.由此猜想:an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想:(1)当n1时,a12111,结论成立(2)假设当nk(kN)时结论成立,即ak2k1, 则当nk1时,由函数g(x)(x1)21在区间1,)上单调递增,知ak1(ak1)2122k12k11.故当nk1时结论也成立由(1)(2),知对任意nN,都有an2n1,即1an2n.所以.所以1n1.
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