资源描述
8.4直线、平面平行的判定与性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度直线、平面平行的判定与性质1.了解直线与平面和平面与平面的位置关系2.认识和理解空间中直线、平面平行的有关性质和判定3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2017课标全国,6;2017课标全国,18;2016课标全国,11;2016山东,18;2016四川,17选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查比较平稳,一般通过对图形或几何体的认识,考查直线与平面平行以及平面与平面平行的判定和性质,题型以解答题为主,偶尔也会出现在小题之中,以命题判断居多,难度适中,主要考查直线、平面平行间的转化思想,同时也考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.分值约为6分.五年高考考点直线、平面平行的判定与性质1.(2017课标全国,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A2.(2016课标全国,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A3.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案B4.(2016课标全国,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体NBCM的体积.解析(1)证明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=12BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.(9分)取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以四面体NBCM的体积VNBCM=13SBCMPA2=453.(12分)5.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF,因为FB平面BDEF,所以ACFB.(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.6.(2015山东,18,12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD平面FGH;(2)若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH.证明(1)证法一:连接DG,CD,设CDGF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,所以DFGC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.所以M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HMBD,又HM平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BHEF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BEHF.在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB.又GHHF=H,所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED,所以BD平面FGH.(2)连接HE,EG,CD.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GHAB.由ABBC,得GHBC.又H为BC的中点,所以EFHC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CFHE,又CFBC,所以HEBC.又HE,GH平面EGH,HEGH=H,所以BC平面EGH.又BC平面BCD,所以平面BCD平面EGH.7.(2013陕西,18,12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O底面ABCD,AB=AA1=2.(1)证明:平面A1BD平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.解析(1)由题设知,BB1DD1,四边形BB1D1D是平行四边形,BDB1D1.又BD平面CD1B1,BD平面CD1B1.A1D1B1C1BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BD1C.又A1B平面CD1B1,A1B平面CD1B1.又BDA1B=B,平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又AO=12AC=1,AA1=2,A1O=AA12-OA2=1.又SABD=1222=1,VABD-A1B1D1=SABDA1O=1.教师用书专用(818)8.(2013广东,8,5分)设l为直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l答案B9.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.解析(1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:连接CM.因为ADBC,BC=12AD,所以BCAM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连接BM,由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BC=12AD,所以直线AB与CD相交,所以PA平面ABCD.从而PABD.因为ADBC,BC=12AD,所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD,所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.10.(2015北京,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=2,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.解析(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OMVB.又因为VB平面MOC,所以VB平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC,且OC平面ABC,所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=2,所以AB=2,OC=1.所以等边三角形VAB的面积SVAB=3.又因为OC平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于13OCSVAB=33.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为33.11.(2015天津,17,13分)如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证:EF平面A1B1BA;(2)求证:平面AEA1平面BCB1.解析(1)证明:如图,连接A1B.在A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)证明:因为AB=AC,E为BC中点,所以AEBC.因为AA1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,从而BB1AE.又因为BCBB1=B,所以AE平面BCB1,又因为AE平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.12.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;(2)证明:BCPD;(3)求点C到平面PDA的距离.解析(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以ADBC.又因为AD平面PDA,BC平面PDA,所以BC平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连接PE,因为PD=PC,所以PEDC.又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PE平面PDC,所以PE平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PEBC.因为四边形ABCD为长方形,所以BCDC.又因为PEDC=E,所以BC平面PDC.而PD平面PDC,所以BCPD.(3)连接AC.由(2)知,BCPD,又因为ADBC,所以ADPD,所以SPDA=12ADPD=1234=6.在RtPDE中,PE=PD2-DE2=42-32=7.SADC=12ADDC=1236=9.由(2)知,PE平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由VC-PDA=VP-ADC,即13dSPDA=13PESADC,亦即136d=1379,得d=372.故点C到平面PDA的距离为372.13.(2014课标,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离.解析(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)V=16PAABAD=36AB.由V=34,可得AB=32.作AHPB交PB于H.由题设知BC平面PAB,所以BCAH,故AH平面PBC.又AH=PAABPB=31313,所以A到平面PBC的距离为31313.14.(2014北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=12AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=AC2-BC2=3.所以三棱锥E-ABC的体积V=13SABCAA1=1312312=33.15.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.解析(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1AB,AA1AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC,所以AA1BC.又ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知可知O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为ABC,ACC1的中位线,所以MDAC且MD=12AC,OEAC且OE=12AC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DEMO.因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直线DE平面A1MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.16.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解析(1)因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,所以GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB=14DB=12OB,即K为OB的中点.再由POGK得GK=12PO,即G是PB的中点,所以GH=12BC=4.由已知可得OB=42,PO=PB2-OB2=68-32=6,所以GK=3.故四边形GEFH的面积S=GH+EF2GK=4+823=18.17.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.解析(1)证明:如图,设PA的中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA的中点,所以EFAD且EF=12AD.又因为BCAD,BC=12AD,所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF,因此CE平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF的中点,在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点,AD=2BC得BNAD.所以AD平面PBN,由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14,在RtMQH中,QH=14,MQ=2,所以sinQMH=28.所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.18.(2013福建,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC=5,DC=3,AD=4,PAD=60.(1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M为PA的中点,求证:DM平面PBC;(3)求三棱锥D-PBC的体积.解析(1)在梯形ABCD中,过点C作CEAB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,CE=AD=4,在RtBEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD平面ABCD得,PDAD,从而在RtPDA中,由AD=4,PAD=60,得PD=43.正视图如图所示:(2)证法一:取PB中点N,连接MN,CN.在PAB中,M是PA的中点,MNAB,MN=12AB=3,又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD,四边形MNCD为平行四边形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.证法二:取AB的中点E,连接ME,DE.在梯形ABCD中,BECD,且BE=CD,四边形BCDE为平行四边形,DEBC,又DE平面PBC,BC平面PBC,DE平面PBC.又在PAB中,MEPB,ME平面PBC,PB平面PBC,ME平面PBC,又DEME=E,平面DME平面PBC.又DM平面DME,DM平面PBC.(3)VD-PBC=VP-DBC=13SDBCPD,又SDBC=6,PD=43,所以VD-PBC=83.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点直线、平面平行的判定与性质1.(2018四川成都一诊,5)已知,是三个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列命题一定正确的是()A.若l,l,则B.若,则C.若lm,且l,m,l,m,则D.若l,m异面,且l,m,l,m,则答案D2.(2017河南安阳二模,7)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:EPAC;EPBD;EP平面SBD;EP平面SAC,其中恒成立的为()A.B.C.D.答案A3.(2016上海青浦二模,15)下列命题正确的是()A.若直线l1平面,直线l2平面,则l1l2B.若直线l上有两个点到平面的距离相等,则lC.直线l与平面所成角的取值范围是0,2D.若直线l1平面,直线l2平面,则l1l2答案D4.(2018河北唐山统一考试,14)在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线PB与AC,则截面的周长为.答案85.(2018湖南湘东五校联考,19)如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,A1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B1C1.(1)求证:AB1平面A1C1C;(2)求多面体ABCA1B1C1的体积.解析(1)证明:取BC的中点D,连AD,B1D,C1D,B1C1BC,BC=2B1C1,BDB1C1,BD=B1C1,CDB1C1,CD=B1C1,四边形BDC1B1,CDB1C1是平行四边形,C1DB1B,C1D=B1B,CC1B1D,又B1D平面A1C1C,C1C平面A1C1C,B1D平面A1C1C.在正方形ABB1A1中,BB1AA1,BB1=AA1,C1DAA1,C1D=AA1,四边形ADC1A1为平行四边形,ADA1C1,又AD平面A1C1C,A1C1平面A1C1C,AD平面A1C1C,B1DAD=D,平面ADB1平面A1C1C,又AB1平面ADB1,AB1平面A1C1C.(2)在正方形ABB1A1中,A1B=2,又A1BC是等边三角形,所以A1C=BC=2,所以AC2+AA12=A1C2,AB2+AC2=BC2.于是AA1AC,ACAB,又AA1AB,ABAC=A,AA1平面ABC,AA1CD,易知CDAD,而ADAA1=A,CD平面ADC1A1,于是多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱锥C-ADC1A1组成的.又直三棱柱ABD-A1B1C1的体积为1212111=14,四棱锥C-ADC1A1的体积为1322122=16,故多面体ABCA1B1C1的体积为14+16=512.6.(2017广东肇庆调研,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA面ABCD,PA=BC=4,AD=2,AC=AB=3,ADBC,N是PC的中点.(1)证明:ND面PAB;(2)求三棱锥N-ACD的体积.解析(1)证明:如图,取PB的中点M,连接AM,MN.易知MN是BCP的中位线,MNBC,且MN=12BC.依题意得,ADBC且AD=12BC,则有ADMN,四边形AMND是平行四边形,NDAM.ND面PAB,AM面PAB,ND面PAB.(2)N是PC的中点,N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半,又PA面ABCD,PA=4,三棱锥N-ACD的高是2.在ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC边上的高为32-22=5.BCAD,C到AD的距离为5,SADC=1225=5.三棱锥N-ACD的体积是1352=23 5.B组20162018年模拟提升题组(满分:60分时间:45分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018湖南长沙长郡中学调研考试,11)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABAD,BCAD,PA=AD=4,AB=BC=2,PA平面ABCD,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,则线段CH的长度为()A.2B.2C.22D.23答案C2.(2016江西高安模拟,7)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和棱AA1的中点,点M、N分别为线段D1E、C1F上的点,则与平面ABCD平行的直线MN有()A.无数条 B.2条C.1条D.0条答案A二、填空题(共5分)3.(2017安徽师大附中期中,15)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,则F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是.答案2三、解答题(每小题15分,共45分)4.(2018河南新乡一模,19)如图,几何体ABC-A1DC1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得,AB=4,AA1=32,A1D=1,AA1平面ABC,M为AB的中点,E为棱AA1上一点,且EM平面BC1D.(1)若N在棱BC上,且BN=2NC,证明:EN平面BC1D;(2)过A作平面BCE的垂线,垂足为O,确定O的位置(说明作法及理由),并求线段OE的长.解析(1)证明:EM平面BC1D,EM平面ABDA1,平面ABDA1平面BC1D=BD,BDEM.过D作DHAB于H,连接CH,MN,则CHC1D,HM=12AB-14AB=14AB,HMMB=CNNB=12,MNCH,则MNC1D.MN平面BC1D.EMMN=M,平面EMN平面BC1D.EN平面EMN,EN平面BC1D.(2)在线段AB上取一点F,使BF=A1D=1,连接A1F,则A1FBD,由(1)知EMBD.EMA1F,AEAA1=AMAF=23,AE=2332=22.取BC的中点G,连接AG,EG.过A作AOEG于O,则AO平面BCE.证明如下:由题意可知,ABC为等边三角形,则AGBC,又AA1平面ABC,AA1BC,AGAA1=A,BC平面AEG,BCAO,又EGBC=G,AO平面BCE.在AEG中,由射影定理可得,AE2=OEEG,又AE=22,易求EG=25,OE=455.故点O的位置在BEC中边BC的中线上,且满足EO=455.5.(2018湖北武汉重点中学联考,19)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE,其中平面D1AE平面ABCE.(1)证明:BE平面D1AE;(2)设F为CD1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF平面D1AE?若存在,求出AMAB的值;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:由已知得矩形ABCD中,AD=DE=EC=BC=2,AE=BE=22,又AB=4,AE2+BE2=AB2,AEB=90,即BEAE,又平面D1AE平面ABCE,平面D1AE平面ABCE=AE,BE平面ABCE,BE平面D1AE.(2)存在,AMAB=14.理由如下:取D1E的中点L,连接FL,AL,FLEC,且FL=12EC.又ECAB,EC=12AB,FLAB,且FL=14AB,M,F,L,A四点共面,若MF平面AD1E,则MFAL.四边形AMFL为平行四边形,AM=FL=14AB,故线段AB上存在点M,使得MF平面D1AE,AMAB=14.6.(2017河北衡水中学五调考试,18)一个多面体的直观图和三视图如图所示,M,N分别是线段AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该几何体的体积与表面积;(2)求证:GNAC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP平面FMC,并给出证明.解析(1)由三视图可知该几何体为直三棱柱,ADDF,DF=AD=DC=a,故该几何体的体积为12a3,表面积为12a22+2a2+a2+a2=(3+2)a2.(2)证明:连接FN,DB,可知B,N,D共线,且ACDN.又FDAD,FDCD,ADCD=D,FD平面ABCD.又AC平面ABCD,FDAC.又DNFD=D,AC平面FDN.又GN平面FDN,GNAC.(3)当点P与点A重合时,GP平面FMC.证明如下:取FC的中点H,连接GH,GA,MH,FG=GD,G是DF的中点,GHCD,且GH=12CD.M是AB的中点,ABCD,AMCD,且AM=12CD.GHAM,且GH=AM.四边形GHMA是平行四边形.GAMH.又MH平面FMC,GA平面FMC,GA平面FMC,即GP平面FMC.C组20162018年模拟方法题组方法1判定或证明线面平行的方法1.(2018江西南昌二中月考,19)直三棱柱ABC-ABC中,BAC=90,AB=AC=2,AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)求三棱锥A-MNC的体积.解析(1)证法一:连接AB,AC,因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为AB的中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC,又MN平面AACC,AC平面AACC,所以MN平面AACC.证法二:取AB的中点P,连接MP,NP.因为M,N分别为AB和BC的中点,所以MPBB,NPAC,易知AABB,所以MPAA.因为MP平面AACC,AA平面AACC,所以MP平面AACC,同理,NP平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,因此MN平面AACC.(2)解法一:连接BN,由题意知ANBC,因为平面ABC平面BBCC=BC,平面ABC平面BBCC,所以AN平面NBC.又AN=12BC=1,故VA-MNC=VN-AMC=12VN-ABC=12VA-NBC=16.解法二:连接BN.VA-MNC=VA-NBC-VM-NBC=12VA-NBC=16.2.(2017福建莆田质检,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,E为SA的中点,SA=SB=2,AB=23,BC=3.(1)证明:SC平面BDE;(2)若BCSB,求三棱锥C-BDE的体积.解析(1)证法一:连接AC,设ACBD=O,四边形ABCD为矩形,O为AC的中点.在ASC中,E为AS的中点,SCOE,又OE平面BDE,SC平面BDE,SC平面BDE.证法二:如图,将四棱锥S-ABCD补形为三棱柱ABS-DCP,取DP的中点F,连接FC,FE,FS,易证得四边形DESF为平行四边形,FSDE,又DE平面BDE,FS平面BDE,FS平面BDE.易知四边形BCFE为平行四边形,CFBE,又BE平面BDE,CF平面BDE,CF平面BDE,FSCF=F,FS平面SCF,CF平面SCF,平面BDE平面SCF.又SC平面SCF,SC平面BDE.(2)解法一:BCAB,BCSB,ABSB=B,BC平面SAB,又BCAD,AD平面SAB.SC平面BDE,点C与点S到平面BDE的距离相等,VC-BDE=VS-BDE=VD-SBE,在ABS中,SA=SB=2,AB=23,SABS=12231=3.又E为AS的中点,SBES=12SABS=32.又点D到平面BES的距离为AD的长,VD-BES=13SBESAD=13323=32,VC-BDE=32,即三棱锥C-BDE的体积为32.解法二:过E作EHAB,垂足为H.BCAB,BCSB,ABSB=B,BC平面ABS,EH平面ABS,EHBC,又EHAB,ABBC=B,EH平面ABCD.在SAB中,取AB的中点M,连接SM,则SMAB,由已知易求SM=1.由作图知EH=12SM,EH=12,又SBCD=12323=33,VC-BDE=VE-BCD=13SBCDEH=133312=32.故三棱锥C-BDE的体积为32.方法2判定或证明面面平行的方法3.(2018吉林长春质量监测,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.解析(1)证明:M,N分别为PD,AD的中点,MNPA,又MN平面PAB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,易知CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMN=N,平面CMN平面PAB.(2)由(1)知,平面CMN平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离,ABC=90,CBAB.PA平面ABCD,PABC,BC平面PAB.AB=1,ABC=90,BAC=60,BC=3,三棱锥P-ABM的体积V=VM-PAB=VC-PAB=1312123=33.4.(2017河北衡水中学期中,18)如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,ABCD,点O是线段AB的中点,PO平面ABCD,PO=CD=DA=12AB=4,M是线段PA的中点.(1)证明:平面PBC平面ODM;(2)求点A到平面PCD的距离.解析(1)证明:由题意,得CDBO,且CD=BO,四边形OBCD为平行四边形,BCOD.BC平面PBC,OD平面PBC,OD平面PBC.又AO=OB,AM=MP,OMPB.又OM平面PBC,PB平面PBC,OM平面PBC.又OMOD=O,平面PBC平面ODM.(2)取CD的中点N,连接ON,PN,如图所示,则ONCD.PO平面ABCD,CD平面ABCD,POCD.又ONCD,POON=O,CD平面PNO.PN平面PNO,CDPN.ON,PN分别为ACD,PCD的公共边CD上的高.由题意可求得ON=23,则PN=27,设点A到平面PCD的距离为d.V三棱锥A-PCD=V三棱锥P-ACD,即1312427d=13124234,d=4217.即点A到平面PCD的距离为4217.
展开阅读全文