2016-2017学年高考数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定课件新人教A版必修2.ppt

第二章 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 1直线与平面垂直的判定 学习目标 1 掌握直线与平面垂直的定义 2 掌握直线与平面垂直的判定定理 3 理解直线与平面所成的角的概念 并能解决简单的线面角问题 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一直线与平面垂直 答案 任意一条 l 垂足 垂线 垂面 思考直线与平面垂直定义中的关键词 任意一条直线 是否可以换成 所有直线 无数条直线 答案 答定义中的 任意一条直线 与 所有直线 是等效的 但是不可说成 无数条直线 因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直 该直线与这个平面不一定垂直 知识点二直线与平面垂直的判定定理 答案 两条相交直线 a b P 思考线面垂直判定定理中 平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗 答案 答用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直 取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直 至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点 则是无关紧要的 知识点三直线和平面所成的角 答案 直线PA 点A AO 相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 答案 返回 思考若直线l与平面 所成的角是0 角 则必然有l 吗 答不一定 若直线l与平面 所成的角是0 角 则l 或l 0 的角 0 90 直角 题型探究重点突破 题型一直线和平面垂直的定义例1直线l与平面 内的无数条直线垂直 则直线l与平面 的关系是 A l和平面 平行B l和平面 垂直C l在平面 内D 不能确定 解析答案 反思与感悟 解析如图所示 直线l和平面 平行 或直线l和平面 垂直或直线l在平面 内都有可能 故正确答案为D D 反思与感悟 1 直线和平面垂直的定义是描述性定义 对直线的任意性要注意理解 实际上 任何一条 与 所有 表达相同的含义 当直线与平面垂直时 该直线就垂直于这个平面内的任何直线 由此可知 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直 那么这条直线就一定不与这个平面垂直 2 由定义可得线面垂直 线线垂直 即若a b 则a b 解析答案 跟踪训练1设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若l m m 则l B 若l l m 则m C 若l m 则l mD 若l m 则l m 解析对于A 直线l m m并不代表平面 内任意一条直线 所以不能判定线面垂直 对于B 因l 则l垂直 内任意一条直线 又l m 由异面直线所成角的定义知 m与平面 内任意一条直线所成的角都是90 即m 故B正确 对于C 也有可能是l m异面 对于D l m还可能相交或异面 B 解析答案 题型二线面垂直的判定例2如图所示 已知PA垂直于 O所在的平面 AB是 O的直径 C是 O上任意一点 过点A作AE PC于点E 求证 AE 平面PBC 反思与感悟 证明 PA 平面ABC PA BC 又 AB是 O的直径 BC AC 而PA AC A BC 平面PAC 又 AE 平面PAC BC AE PC AE 且PC BC C AE 平面PBC 反思与感悟 证线面垂直的方法有 1 线线垂直证明线面垂直 定义法 不常用 但由线面垂直可得出线线垂直 判定定理最常用 要着力寻找平面内哪两条相交直线 有时作辅助线 结合平面图形的性质 如勾股定理逆定理 等腰三角形底边中线等 及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直 2 平行转化法 利用推论 a b a b a a 解析答案 跟踪训练2如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱AB BC的中点 O是底面ABCD的中心 求证 EF 平面BB1O 证明 ABCD为正方形 AC BO 又 BB1 平面ABCD AC 平面ABCD AC BB1 又 BO BB1 B AC 平面BB1O 又EF是 ABC的中位线 EF AC EF 平面BB1O 解析答案 题型三直线与平面所成的角例3如图所示 已知正四面体ABCD的棱长a E为AD的中点 连接CE 1 求AD与平面BCD所成角的余弦值 解如图所示 过点A作AO 底面BCD 垂足为点O 连接OB OC OD 则OB OC OD分别是AB AC AD在平面BCD上的射影 ADO为直线AD与平面BCD所成的角 又 AB AC AD OB OC OD O为 BCD的外心 BCD为正三角形 点O为重心 解析答案 2 求CE与平面BCD所成角的正弦值 反思与感悟 解取OD的中点F 连接EF CF E F分别为 DAO的边AD OD的中点 EF为 DAO的中位线 EF AO 又AO 平面BCD EF 平面BCD FC为EC在平面BCD上的射影 ECF为CE与平面BCD所成的角 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 反思与感悟 1 求直线和平面所成角的步骤 1 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线 2 连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影 斜线与其射影所成的锐角即为所求的角 3 把该角归结在某个三角形中 通过解三角形 求出该角 2 在上述步骤中 作角是关键 而确定斜线在平面内的射影是作角的关键 几何图形的特征是找射影的依据 图形中的特殊点是突破口 解析答案 跟踪训练3在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AA1 A1D1的中点 1 求D1B与平面AC所成的角的余弦值 解如图所示 连接DB 因为D1D 平面AC 所以DB是D1B在平面AC内的射影 所以 D1BD即为D1B与平面AC所成的角 解析答案 2 求EF与平面A1C1所成的角的大小 解因为E是A1A的中点 A1A 平面A1C1 所以 EFA1是EF与平面A1C1所成的角 在Rt EA1F中 因为F是A1D1的中点 所以 EFA1 45 故EF与平面A1C1所成的角的大小为45 分类讨论思想 数学思想 例4如图 在矩形ABCD中 AB 1 BC a a 0 PA 平面AC 且PA 1 问 BC边上是否存在点Q 使得PQ QD 并说明理由 解析答案 解后反思 分析由于矩形是变动的 在BC边上是否存在点Q 使得PQ QD与a有关 故应对a进行分类讨论 解因为PA 平面AC QD 平面AC 所以PA QD 又因为PQ QD PA PQ P 所以QD 平面PAQ 所以AQ QD 当0 a 2时 由四边形ABCD是矩形 且AB 1 知以AD为直径的圆与BC无交点 即对于BC上任一点Q 都有 AQD 90 此时BC边上不存在点Q 使PQ QD 解析答案 解后反思 解后反思 当a 2时 以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q 此时 AQD 90 所以BC边上存在一点Q 使PQ QD 当a 2时 以AD为直径的圆与BC相交于点Q1 Q2 此时 AQ1D AQ2D 90 故BC边上存在两点Q 即Q1与Q2 使PQ QD 解后反思 应注意到矩形是变动的 所以应对a进行分类讨论 分类的依据是直线与圆的位置关系的几种情况 从而划分a的取值范围 然后进行讨论 解析答案 解后反思 例5如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是BB1的中点 O是底面正方形ABCD的中心 求证 OE 平面ACD1 返回 线面垂直 解题技巧 分析根据线面垂直的判定定理 要证明OE 平面ACD1 只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直即可 证明如图 连接AE CE D1O D1E D1B1 设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 易证AE CE 因为AO OC 所以OE AC 在正方体中易求出 解析答案 解后反思 因为D1O2 OE2 D1E2 所以D1O OE 因为D1O AC O D1O 平面ACD1 AC 平面ACD1 所以OE 平面ACD1 解后反思 解后反思 在立体几何的垂直关系的证明中 通过勾股定理及其逆定理计算证明线线垂直是一种常用的技巧 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1 则侧棱与底面所成的角为 A 75 B 60 C 45 D 30 解析如图 连接AC BD 两线相交于O 连接SO 则 SBO就是侧棱与底面所成的角 C 因为SB 1 所以 SBO 45 解析答案 2 下列条件中 能判定直线l 平面 的是 A l与平面 内的两条直线垂直B l与平面 内的无数条直线垂直C l与平面 内的某一条直线垂直D l与平面 内的任意一条直线垂直 D 解析根据线面垂直的定义可知 l垂直于 内的所有直线时 l 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 3 已知PA 矩形ABCD 下列结论中 不正确的是 A PB BCB PD CDC PD BDD PA BD 解析如图 由PA 矩形ABCD 得BC 平面PAB DA 平面PAB DC 平面PAD AB 平面PAD 则有PB BC PD CD PA BD均正确 而PD BD错 故选C C 解析答案 1 2 3 4 5 4 如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 A B C D 解析由线面垂直的判定定理知 直线垂直于 图形所在的平面 对于 图形中的两边不一定是相交直线 所以该直线与它们所在的平面不一定垂直 A 5 矩形ABCD中 AB 1 BC PA 平面ABCD PA 1 则PC与平面ABCD所成的角是 1 2 3 4 5 解析答案 30 PCA 30 课堂小结 1 直线和平面垂直的判定方法 1 利用线面垂直的定义 2 利用线面垂直的判定定理 3 利用下面两个结论 若a b a 则b 若 a 则a 2 线线垂直的判定方法 1 异面直线所成的角是90 2 线面垂直 则线线垂直 3 求线面角的常用方法 1 直接法 一作 或找 二证 或说 三计算 2 转移法 找过点与面平行的线或面 3 等积法 三棱锥变换顶点 属间接求法 返回