2016-2017学年高考数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课件新人教A版必修2.ppt

第二章 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 2平面与平面垂直的判定 学习目标 1 理解二面角的有关概念 会求简单的二面角的大小 2 理解两平面垂直的定义 3 掌握两平面垂直的判定定理 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一二面角 答案 面 半平面 两个半平面 棱 答案 角 0 棱 答案 直角 P l Q 平面角 l 思考二面角的平面角的大小 是否与角的顶点在棱上的位置有关 答案 答无关 如图 根据等角定理可知 AOB A O B 即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关 只与二面角的大小有关 知识点二平面与平面垂直1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面 与平面 垂直 记作 2 画法 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的 垂直 如图所示 答案 横边 直二面角 3 平面与平面垂直的判定定理 答案 垂线 l 答案 返回 思考 1 应用面面垂直的判定定理的关键是什么 答应用此定理的关键在于 在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线 即实现面面垂直向线面垂直的转化 2 两个平面垂直 则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗 答不一定 平行 相交 垂直都有可能 题型探究重点突破 题型一二面角及其平面角的概念例1下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成的角的最小角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 A B C D 解析答案 反思与感悟 解析由二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 所以 不对 实质上它共有四个二面角 由a b分别垂直于两个面 则a b都垂直于二面角的棱 故 正确 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱 故 不对 由定义知 正确 故选B 答案B 反思与感悟 反思与感悟 1 要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致 2 要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别 3 可利用实物模型 作图帮助判断 解析答案 跟踪训练1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面 那么这两个二面角 A 相等B 互补C 相等或互补D 关系无法确定 解析如图所示 平面EFDG 平面ABC 当平面HDG绕DG转动时 平面HDG始终与平面BCD垂直 所以两个二面角的大小关系不确定 因为二面角H DG F的大小不确定 D 解析答案 题型二面面垂直的判定例2如图 三棱台DEF ABC中 AB 2DE G H分别为AC BC的中点 1 求证 BD 平面FGH 解析答案 证明方法一如图所示 连接DG CD 设CD GF M 连接MH 在三棱台DEF ABC中 AB 2DE AC 2DF G为AC的中点 DF GC 且DF GC 四边形CFDG是平行四边形 DM MC BH HC MH BD 又BD 平面FGH MH 平面FGH BD 平面FGH 方法二在三棱台DEF ABC中 AB 2DE H为BC的中点 BH EF 且BH EF 四边形BHFE是平行四边形 BE HF 在 ABC中 G为AC的中点 H为BC的中点 GH AB 又GH HF H AB BE B 平面FGH 平面ABED BD 平面ABED BD 平面FGH 解析答案 2 若CF BC AB BC 求证 平面BCD 平面EGH 反思与感悟 证明 G H分别为AC BC的中点 GH AB AB BC GH BC 又H为BC的中点 EF HC EF HC EFCH是平行四边形 CF HE CF BC HE BC 又HE GH 平面EGH HE GH H BC 平面EGH 又BC 平面BCD 平面BCD 平面EGH 反思与感悟 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法 即要证面面垂直 只需转证线面垂直 关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 解析答案 1 求证 不论 为何值 总有平面BEF 平面ABC 证明 BCD 90 BC CD AB 平面BCD AB CD 又 AB BC B CD 平面ABC EF 平面ABC 又 EF 平面BEF 平面BEF 平面ABC 故不论 为何值 总有平面BEF 平面ABC 解析答案 2 当 为何值时 平面BEF 平面ACD 解由 1 得EF 平面ABC BE 平面ABC EF BE 要使平面BEF 平面ACD 只需BE AC 又 AB 平面BCD ADB 60 解析答案 题型三与二面角有关的计算例3如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求二面角B A1C1 B1的正切值 反思与感悟 解取A1C1的中点O 连接B1O BO 由题意知B1O A1C1 又BA1 BC1 O为A1C1的中点 所以BO A1C1 所以 BOB1即是二面角B A1C1 B1的平面角 因为BB1 平面A1B1C1D1 OB1 平面A1B1C1D1 所以BB1 OB1 反思与感悟 反思与感悟 1 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 再把平面角放在三角形中 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 其步骤为作角 证明 计算 2 为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点 如是否为等腰三角形等 解析答案 跟踪训练3正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 P是AD的中点 求二面角A BD1 P的大小 解析答案 解过点P作BD1 AD1的垂线 垂足分别是E F 连接EF AB 平面AA1D1D PF 平面AA1D1D AB PF PF AD1 且AB AD1 A PF 平面ABD1 PF BD1 又 PE BD1 且PE PF P BD1 平面PEF EF BD1 PEF为所求二面角的平面角 PEF 30 二面角A BD1 P为30 解析答案 解后反思 折叠问题是指平面图形经过折叠成为立体图形后 在立体图形中解决有关问题 关于折叠问题 一定要抓住折叠前后的图形中的变量与不变量 这是解决问题的关键 例4在直角梯形ABCD中 D BAD 90 AD DC AB a 如图所示 将 ADC沿AC折起 将D翻到D 记平面ACD 为 平面ABC为 平面BCD 为 1 若二面角 AC 为直二面角 求二面角 BC 的大小 2 若二面角 AC 为60 求三棱锥D ABC的体积 返回 平面图形的折叠问题 解题技巧 分析本题是一个折叠问题 要弄清折叠前后哪些量不变 哪些量发生了变化 要求折叠后二面角 BC 的大小 要先找角 再求角 解 1 在直角梯形ABCD中 由已知 DAC为等腰直角三角形 解析答案 解后反思 如图所示 过C作CH AB 垂足为H 则AH CH a AC BC 取AC的中点E 连接D E 则D E AC 二面角 AC 为直二面角 D E 又 BC 平面 BC D E AC D E E BC 而D C BC D C D CA为二面角 BC 的平面角 由于 D CA 45 二面角 BC 为45 2 如图所示 过D 作D O 垂足为O 连接OE AC D O AC 又由 1 可知AC D E D O与D E相交于点D AC 平面D EO AC OE 解析答案 解后反思 D EO为二面角 AC 的平面角 D EO 60 在Rt D OE中 解后反思 解后反思 从本题中可以进一步看出 折叠问题实质上是由平面到空间 再由空间到平面的一种转化 本题的解题过程中 反复对照 比较平面图和立体图 不仅仅是由平面到空间 由折叠前到折叠后 很多情况下 尤其是思路不通畅时 经常由空间回到平面 以平面中相应的关系解决空间的问题 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 已知l 则过l与 垂直的平面 A 有1个B 有2个C 有无数个D 不存在 解析由面面垂直的判定定理知 凡过l的平面都垂直于平面 这样的平面有无数个 C 解析答案 2 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n C 解析 n m n m 又m 由面面垂直的判定定理 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 A 相等B 互补C 相等或互补D 既不相等也不互补 A 解析画出图象易得到 与 相等或互补 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知PA 矩形ABCD所在的平面 如图所示 图中互相垂直的平面有 A 1对B 2对C 3对D 5对 解析 DA AB DA PA AB PA A DA 平面PAB 同理BC 平面PAB 又易知AB 平面PAD DC 平面PAD 平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面PAB 平面PBC 平面PAB 平面PAB 平面ABCD 平面PDC 平面PAD 共5对 D 1 2 3 4 5 解析答案 5 三棱锥P ABC中 PA PB PC AB 10 BC 8 CA 6 则二面角P AC B的大小为 解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点 取AC的中点Q 则OQ BC 易得 ABC是直角三角形 且 ACB 90 AQO 90 即OQ AC 又 PA PC PQ AC PQO即是二面角P AC B的平面角 PQO 60 答案60 1 2 3 4 5 课堂小结 1 证明两个平面垂直的主要途径 1 利用面面垂直的定义 2 面面垂直的判定定理 即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 2 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现的 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 3 下面的结论 有助于判断面面垂直 1 m n m n 2 m n m n 3 返回