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第六章 推理与证明章末检测一、选择题1由112,1322,13532,135742，得到13(2n1)n2用的是()A归纳推理 B演绎推理 C类比推理 D特殊推理答案A2在ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EFBC，这个问题的大前提为()A三角形的中位线平行于第三边B三角形的中位线等于第三边的一半CEF为中位线DEFBC答案A解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为ABC的中位线；结论：EFBC.3对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若m213511，n3的分解中最小的正整数是21，则mn()A10 B11 C12 D13答案B解析m213511636，m6.2335,337911，4313151719，532123252729，n3的分解中最小的数是21，n353，n5，mn6511.4用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数答案D解析应对结论进行否定，则不是无理数，即是有理数5已知f(x1)，f(1)1(xN*)，猜想f(x)的表达式为()A. B. C. D.答案B解析当x1时，f(2)，当x2时，f(3)；当x3时，f(4)，故可猜想f(x)，故选B.6对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故正确ab与bc及ac中最多只能有一个成立，故不正确由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确7我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥A4个 B3个 C2个 D1个答案C解析类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体8数列an满足a1，an11，则a2 013等于()A. B1 C2 D3答案C解析a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 013a33670a32.9定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x4)，且f(x)在(2，)上为增函数已知x1x24且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值()A恒小于0 B恒大于0C可能等于0 D可正也可负答案A解析不妨设x120，则x12，2x24x1，f(x2)f(4x1)，从而f(x2)f(4x1)f(x1)，f(x1)f(x2)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推测当n2时，有_答案f(2n)(n2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k1,2，)不等式右侧分别为，k1,2，f(2n)(n2)13用数学归纳法证明：1时，由nk到nk1左边需要添加的项是()A. B.C. D.答案D解析由nk到nk1时，左边需要添加的项是.故选D.14观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_答案132333435363212解析由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：123,1236,123410，即左边底数的和等于右边的底数故第五个等式为：132333435363(123456)2212.三、解答题15已知a、b、c是互不相等的非零实数求证三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20.由题意a、b、c互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根16设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾17如图所示为m行m1列的士兵方阵(mN，m2)(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an9 900，问an是数列的第几项？解(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3、4、5，时的士兵人数分别为12,20,30，.故所求数列为6,12,20,30，.(2)因为a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN*.(3)a101112132.a10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，即an是数列的第98项，此时方阵有99行100列18设f(n)1，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)f(2)f(n1)g(n)f(n)1对于n2的一切自然数都成立？并证明你的结论解当n2时，由f(1)g(2)f(2)1，得g(2)2，当n3时，由f(1)f(2)g(3)f(3)1，得g(3)3，猜想g(n)n(n2)下面用数学归纳法证明：当n2时，等式f(1)f(2)f(n1)nf(n)1恒成立当n2时，由上面计算可知，等式成立假设nk(kN*且k2)时，等式成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1(k2)成立，那么当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)1，当nk1时，等式也成立由知，对一切n2的自然数n等式都成立，故存在函数g(n)n，使等式成立
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