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第5章 推理与证明1两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：通过观察个别对象发现某些相同性质；由相同性质猜想一般性命题(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：找出两类对象之间的相似性或一致性；由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题2演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论3直接证明综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论(2)分析法是“执果索因”，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)注意：分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略4间接证明反证法反证法证题的步骤为：反设归谬结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用归 纳 推 理例1给出下面的数表序列：其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律例2蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数则f(4)_，f(n)_.解析因为f(1)1，f(2)716，f(3)191612，所以f(4)16121837，所以f(n)1612186(n1)3n23n1.答案373n23n1解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识本题注意从图形中抽象出等差数列1图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是.解析：分别观察正方体的个数为：1,15,159，归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以Snnn(n1)422n2n，所以S7272791.答案：912.如图，给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28，按其规律再画下去，可得n(nN)层六边形，试写出Sn的表达式解：设每层除去最上面的一个点的点数为an，则an是以5为首项，4为公差的等差数列，则Sna1a2an112n23n1(nN).类 比 推 理例3在ABC中，ABAC，ADBC于D.求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由证明如右图所示，由射影定理，AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.BC2AB2AC2，.猜想：类比ABAC，ADBC，猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.证明上述猜想成立如右图所示，连接BE交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.故猜想正确(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等3若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若SmSn(m，nN*且mn)，则Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的性质：_.答案：数列bn为等比数列，Tm表示其前m项的积，若TmTn，(m，nN*，mn)，则Tmn14在RtABC中，C90，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径为r ，把上述结论类比到空间，写出相似的结论解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体ABCD且ABa，ACb，ADc，则此四面体的外接球的半径为R .综合法和分析法例4设a0，b0，ab1，求证：8.证明法一：(综合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24， 8.法二：(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2.由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径5已知函数f(x)loga(ax1)(a0，a1)(1)证明：函数f(x)的图象在y轴一侧；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，得ax1.当a1时，x0，函数图象在y轴右侧；当0a1时，x0，函数图象在y轴左侧故函数图象总在y轴一侧(2)由于kAB，又由x10即可因为y2y1loga(a x21)loga(a x11)loga.当a1时，由0x1x2，得a0ax1a x2，即0a x111，loga0，即y2y10.当0a1时，由x1x2a x1a x21.即a x11a x210.故有00，即y2y10.综上，直线AB的斜率总大于零反证法例5已知a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x，求证：a，b，c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，得abc0，而abc(x1)2(y1)2(z1)2330，与abc0矛盾，故假设不成立a，b，c中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立(2)反证法证题的思路是：“假设归谬存真”6用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案：A
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