无限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 6 1数字滤波器的基本概念6 2模拟滤波器的设计6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6 1数字滤波器的基本概念 本章讲述滤波器的基本概念 讲述无限脉冲响应数字滤波器 低通 高通 带通和带阻 的设计方法 转换法 例1 0 滤波器的基本概念 设 分贝 dB 的定义 当 3dB带宽 例2 系统函数为 频率函数为 1 数字滤波器的分类 1 经典滤波器与现代滤波器 2 低通 高通 带通和带阻 3 无限脉冲响应 IIR 滤波器和有限脉冲响应 FIR 滤波器 数字滤波器的低频频带位于2 的整数倍处 高频频带位于 的奇数倍附近 IIR和FIR系统函数分别为 6 1 1 6 1 2 N M 称为N阶IIR滤波器函数 称为N 1阶FIR滤波器函数 2 数字滤波器的技术要求 1 理想滤波器 图6 1 1理想低通 高通 带通 带阻滤波器幅度特性 带通 带阻 假设数字滤波器的频率函数H ej 用下式表示 为相频特性 表示通过滤波器后各频率成分在时间上的延迟情况 2 物理可实现滤波器 为幅频特性 表示通过滤波器后各频率成分衰减情况 p通带截止频率 c3dB通带截止频率 s阻带截止频率 图6 1 2低通滤波器的技术要求 通带 0 p 内要求 阻带 s 内要求 p到 s为过渡带 例如 某滤波器的频率特性为 p和 s分别定义为 通带内允许的最大衰减用 p表示 阻带内允许的最小衰减用 s表示 如将 H ej0 归一化为1 6 1 3 和 6 1 4 式则表示成 6 1 5 6 1 6 与理想低通比较 设计步骤 先设计模拟滤波器得到传输函数Ha s 然后将Ha s 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H z 3 数字滤波器设计方法概述 IIR滤波器设计方法 经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的 另一类是直接在频域或时域中进行设计 FIR滤波器的设计方法 常用的有窗函数法和频率采样法 6 2模拟滤波器的设计 6 2 1模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 1 技术指标 模拟低通滤波器的设计指标有 p p s和 s 图6 2 2低通滤波器的幅频特性 p和 s分别称为通带截止频率和阻带截止频率 损耗函数 用对数表示幅频特性 图中 c称为3dB截止频率 p是通带 0 p 中的最大衰减系数 s是阻带 s的最小衰减系数 p和 s一般用dB数表示 损耗函数曲线 对于单调下降的幅度特性 可表示成 如果 0处幅度已归一化到1 即 Ha j0 1 p和 s表示为 由给定的指标 p p s和 s求出 然后得到Ha s 2 逼近方法 称为幅度平方函数 而一般滤波器的单位冲激响应h t 为实数且收敛 因此 为保证系统的稳定 的极点应位于S平面的左半平面 的极点应位于S平面的右半平面 具体做法 因为 将中位于左半平面的极点组成 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 Ha j 2用下式表示 6 2 6 6 2 2巴特沃斯低通滤波器的设计方法 N称为滤波器的阶数 1 巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha s 1 巴特沃斯低通滤波器的设计原理 图6 2 3巴特沃斯幅度特性和N的关系 将幅度平方函数 6 2 7 此式表明幅度平方函数有2N个极点 写成s的函数 得 极点sk用下式表示 6 2 8 为形成稳定的滤波器 2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha s 而右半平面的N个极点构成Ha s Ha s 的表示式为 比如N 3 通过下式可以计算出6个极点 同理 得 图6 2 4三阶巴特沃斯滤波器极点分布 当N 3时 6个极点中位于左半平面的三个分别为 取s平面左半平面的极点s0 s1 s2组成Ha s 2 归一化传输函数Ha p 将对3dB截止频率 c归一化 6 2 10 归一化后的Ha s 表示为 c 称为归一化频率 上式中 令 p称为归一化拉氏复变量 式中 pk sk c为归一化极点 sk为位于左半平面的极点 用下式表示 6 2 11 归一化巴特沃斯的传输函数为 6 2 12 将极点表示式 6 2 12 代入 6 2 11 式 得到的Ha p 的分母是p的N阶多项式 用下式表示 表6 2 1巴特沃斯归一化低通滤波器参数 续表6 2 1 续表6 2 1 3 N的确定 由技术指标 p p s和 s确定 整理得 由 6 2 14 和 6 2 15 式得到 令 则N由下式表示 6 2 16 取大于等于N的最小整数 关于3dB截止频率 c 如果技术指标中没有给出 可以按照 6 2 14 式或 6 2 15 式求出 4 总结低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 根据技术指标 p p s和 s 用求出滤波器的阶数N 按照 求出归一化极点pk 将pk代入 得到归一化传输函数Ha p 将Ha p 去归一化 将p s c代入Ha p 得到实际的滤波器传输函数Ha s 例6 2 1已知通带截止频率fp 5kHz 通带最大衰减 p 2dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 30dB 按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器 解 1 确定阶数N 技术指标 fp 5kHz p 2dBfs 12kHz s 30dB代入 取N 5 得到 2 确定归一化传输函数 由N 5 直接查表6 2 1 得到 极点 0 3090 j0 9511 0 8090 j0 5878 1 0000 将共轭极点放在一起 形成因式分解形式 上式分母也可以展开成为五阶多项式 式中b0 1 0000 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 5 2361 b4 3 2361 先求3dB截止频率 c 按照 6 2 17 式 得到 3 将Ha p 去归一化 将p s c代入Ha p 中得到 例6 2 1图1所设计滤波器的幅频特性 closeall N 256 t linspace 0 1 N dt t 2 t 1 xt cos 2 pi 4 t cos 2 pi 10 t cos 2 pi 20 t f 0 N 2 1 dt N Xt fft xt N subplot 2 1 1 plot t 1 128 xt 1 128 subplot 2 1 2 plot f 1 64 abs Xt 1 64 xlabel f kHz Qc 5 2775 b0 1 b1 3 2361 b2 5 2361 b3 b2 b4 b1 Q f Q linspace 0 25 N Ha Qc 5 j Q 5 b4 Qc j Q 4 b3 Qc 2 j Q 3 b2 Qc 3 j Q 2 b1 Qc 4 j Q b0 Qc 5 L length Ha Has 20 log10 abs Ha figure plot Q 1 64 Has 1 64 Q 30 r 12 Has 5 Has axis 030 702 xlabel f kHz ylabel 20lg abs H a j Omega dB Yt Xt 1 L Ha yt ifft Yt figure subplot 2 1 1 plot t 1 128 abs yt 1 128 subplot 2 1 2 plot f 1 64 abs Yt 1 64 xlabel f kHz 附例题的绘图程序 例6 2 1图2假定的输入信号的时域波形和频谱 例6 2 1图3滤波器的输出信号的时域波形和频谱 4 简单讨论 将 c代入 6 2 18 式 得到 第一 此值小于题目给定的值 说明设计出的滤波器在fs 12kHz处的衰减 超过30dB 过渡带小于要求的 fp 5kHz p 2dBfs 12kHz s 30dB 要求设计的滤波器 设计的滤波器一 阻带性能比设计要求好 第二 如果用计算 c 则 用计算 p 则 此值大于题目给定的值 这样设计出的滤波器在fp 5kHz处的衰减 小于2dB 设计的滤波器二 fp 5kHz p 2dBfs 12kHz s 30dB 要求设计的滤波器 通带性能比设计要求好 2 用MATLAB工具箱函数设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱函数buttap buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数 调用格式如下 Z P K buttap N 计算归一化 以3dB截止频率归一化 系统函数的零极点和增益 N wc buttord wp ws Rp As s B A butter N wc s B A zp2tf Z P K 式中 Z k 和P k 分别为向量Z和P的第k个元素 1 Z P K buttap N 该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化 3dB截止频率 c 1 模拟低通原型滤波器系统函数的零 极点和增益因子 得到的系统函数为如下形式 6 2 21 Z P K buttap 5 Z P 0 3090 0 9511i 0 3090 0 9511i 0 8090 0 5878i 0 8090 0 5878i 1 0000K 1 B A zp2tf Z P K B 000001A 1 00003 23615 23615 23613 23611 0000 2 N wc buttord wp ws Rp As 该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc 调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值 要求0 wp 1 0 ws 1 1表示数字频率 对应模拟频率Fs 2 Fs表示采样频率 Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减 dB 当ws wp时 为高通滤波器 当wp和ws为二元矢量时 为带通或带阻滤波器 这时wc也是二元向量 3 N wc buttord wp ws Rp As s 该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率wc wp ws和wc是实际模拟角频率 rad s 其他参数与格式2 相同 wp 2 pi 5000 ws 2 pi 12000 Rp 2 As 30 N wc buttord wp ws Rp As s N 5wc 3 7792e 004 4 B A butter N wc ftype 计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A 调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值 关于 归一化 一般按格式2 调用函数buttord计算N和wc 由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数 6 2 22 式中 B k 和A k 分别为向量B和A的第k个元素 5 B A butter N wc ftype s 计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A 调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率 实际角频率 由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为 6 2 23 6 2 21 6 2 22 和 6 2 23 式也适用于后面要介绍的切比雪夫和椭圆滤波器的MATLAB设计函数 B A butter N wc s B 1 0e 022 000007 7094A 1 0e 022 0 00000 00000 00000 00000 00077 7094 Z P K buttap 5 B A zp2tf Z P K B 000001A 1 00003 23615 23615 23613 23611 0000 由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个3dB截止频率wc 因此仅由调用参数wc不能区别要设计的是高通还是低通滤波器 当然仅由二维向量wc也不能区分带通和带阻 所以用参数ftype来区分 ftype high时 设计3dB截止频率为wc的高通滤波器 缺省ftype时默认设计低通滤波器 ftype stop时 设计通带3dB截止频率为wc的带阻滤波器 此时wc为二元向量 wcl wcu wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率 缺省ftype时设计带通滤波器 通带为频率区间wcl wcu 应当注意 设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶的 这是因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联 ftype选项 例6 2 2 调用buttord和butter设计巴特沃斯低通模拟滤波器 要求与例6 2 1相同 设计程序如下 wp 2 pi 5000 ws 2 pi 12000 Rp 2 As 30 设置滤波器参数 N wc buttord wp ws Rp As s 计算滤波器阶数N和3dB截止频率 B A butter N wc s 计算滤波器系统函数分子分母多项式系数k 0 511 fk 0 14000 512 14000 wk 2 pi fk Hk freqs B A wk plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridonxlabel 频率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 14 40 5 fc wc 2 pi 运行结果 N 5 wc 3 7792e 004fc 6 0148e 003B 1 0e 022 000007 7094 A 1 0e 022 0 00000 00000 00000 00000 00077 7094 低通滤波器的幅频特性 将B和A代入 6 2 23 式写出系统函数为与例6 2 1计算结果形式相同 滤波器的损耗函数曲线如图6 2 6所示 由图可以看出 阻带刚好满足指标要求 通带指标有富余 这就说明buttord函数使用 6 2 20 式计算 3dB截止频率 6 2 3切比雪夫滤波器的设计 1 切比雪夫滤波器的设计原理 切比雪夫滤波器有两种形式 一 振幅特性在通带内是等波纹的 在阻带内是单调下降的切比雪夫 型滤波器 二 振幅特性在通带内是单调下降 在阻带内是等波纹的切比雪夫 型滤波器 采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途 图6 2 7 a 和 b 分别画出不同阶数的切比雪夫 型和 型滤波器幅频特性 图6 2 7不同阶数的切比雪夫 型和 型滤波器幅频特性 型 型 图中的归一化角频率定义为 型 对通带截止频率归一化 型 对阻带截止频率归一化 我们这里仅介绍切比雪夫 型滤波器的设计方法 式中 为小于1的正数 表示通带内幅度波动的程度 愈大 波动幅度也愈大 p称为通带截止频率 令 p 称为对 p的归一化频率 其幅度平方函数用 Ha j 2表示 CN x 称为N阶切比雪夫多项式 定义为 MATLAB信号处理工具箱函数cheb1ap cheb1ord和cheby1是切比雪夫 型滤波器设计函数 其调用格式如下 1 Z P G cheb1ap N Rp 计算归一化 以通带截止频率归一化 系统函数的零极点和增益 2 N wpo cheb1ord wp ws Rp As s 3 B A cheby1 N Rp wpo ftype s 2 用MATLAB设计切比雪夫滤波器 wpo是切比雪夫 型滤波器的通带截止频率 MATLAB信号处理工具箱函数cheb2ap cheb2ord和cheby2是切比雪夫 型滤波器设计函数 其调用格式如下 1 Z P G cheb2ap N As 计算归一化 以阻带截止频率归一化 系统函数的零极点和增益 2 N wso cheb2ord wp ws Rp As s 3 B A cheby2 N Rp wso ftype s wso是切比雪夫 型滤波器的阻带截止频率 设计切比雪夫 型模拟低通滤波器 wp 2 pi 3000 ws 2 pi 12000 Rp 0 1 As 60 设置指标参数 N1 wp1 cheb1ord wp ws Rp As s 计算切比雪夫 型模拟低通滤波器阶数和通带边界频率 B1 A1 cheby1 N1 Rp wp1 s 计算切比雪夫 型模拟低通滤波器系统函数系数fk 0 14000 512 14000 wk 2 pi fk Hk freqs B1 A1 wk 在指定的频率点上计算频率响应plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridonxlabel 频率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 14 70 5 例6 2 3 设计切比雪夫 型和切比雪夫 型模拟低通滤波器 要求与例6 2 2相同 运行结果 N 5 切比雪夫 型模拟低通滤波器通带边界频率 wp1 1 8850e 004 切比雪夫 型模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数 B 1 2187e 011 A 13 2873e 0049 8445e 0081 6053e 0131 8123e 0179 7448e 020 滤波器损耗函数如图6 2 9所示 图6 2 9五阶切比雪夫 型模拟低通滤波器损耗函数 例6 2 3的设计结果 6 2 4椭圆滤波器的设计 椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图6 2 10所示 椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率 p 阻带边界频率 s 通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s共同决定 图6 2 10椭圆滤波器幅频响应特性曲线 图中的归一化角频率定义为 对通带截止频率归一化 MATLAB信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数ellipap ellipord和ellip 其调用格式如下 1 z p k ellipap N Rp As 计算归一化 以通带截止频率归一化 系统函数的零极点和增益 2 N wpo ellipord wp ws Rp As s 3 B A ellip N Rp wpo ftype s 椭圆滤波器设计程序 wp 2 pi 3000 ws 2 pi 12000 Rp 0 1 As 60 设置指标参数 N wpo ellipord wp ws Rp As s 计算椭圆低通模拟滤波器阶数和通带边界频率 B A ellip N Rp As wpo s 计算低通模拟滤波器系统函数系数 fk 0 14000 512 14000 wk 2 pi fk Hk freqs B A wk plot fk 1000 20 log10 abs Hk gridonxlabel 频率 kHz ylabel 幅度 dB axis 0 14 70 5 例6 2 4 设计椭圆模拟低通滤波器 要求与例6 2 2相同 运行结果 椭圆模拟低通滤波器阶数 N 4 模拟低通滤波器通带边界频率 wpo 1 8850e 004椭圆模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数 B 0 0010 8 3913e 0152 9126e 0078 0051e 0041 0859e 017 A 13 3792e 0049 3066e 0081 3646e 0131 0984e 017 滤波器损耗函数如图6 2 11所示 图6 2 11四阶椭圆模拟低通滤波器损耗 6 2 5四种类型模拟滤波器的比较 巴特沃思 切比雪夫 型 切比雪夫 型和椭圆滤波器 wp 2 pi 5000 ws 2 pi 12000 Rp 2 As 30 滤波器阶数N1 5N2 3N3 3N4 3 滤波器参数为N 5 Rp 2 As 30 高通 带通 带阻滤波器的幅频响应曲线及边界频率分别如下图所示 6 2 6模拟高通 带通 带阻滤波器的设计 用MATLAB实现 N wc buttord wp ws Rp As s B A butter N wc ftype s 高通 ftype high 带通 wp ws均为二元向量 ftype缺省 带阻 wp ws均为二元向量 ftype stop wp 2 pi 12000 ws 2 pi 5000 Rp 2 As 30 设置滤波器参数 N1 wc buttord wp ws Rp As s 计算滤波器阶数N和3dB截止频率 B A butter N1 wc high s 计算滤波器系统函数分子分母多项式系数 wp 2 pi 5000 10000 ws 2 pi 3000 12000 Rp 2 As 30 设置滤波器参数 N1 wc buttord wp ws Rp As s 计算滤波器阶数N和3dB截止频率 B A butter N1 wc s 计算滤波器系统函数分子分母多项式系数 ws 2 pi 5000 10000 wp 2 pi 3000 12000 Rp 2 As 30 设置滤波器参数 N1 wc buttord wp ws Rp As s 计算滤波器阶数N和3dB截止频率 B A butter N1 wc stop s 计算滤波器系统函数分子分母多项式系数 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 主要讲述 将模拟滤波器Ha s 转换为数字滤波器H z 1 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器 仍是因果稳定的 转换关系应实现s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内 2 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响 转换关系应实现s平面的虚轴映射到z平面的单位圆 相应的频率之间成线性关系 为了保证转换后的H z 稳定且满足技术要求 对转换关系提出两点要求 设模拟滤波器的传输函数为Ha s 相应的单位冲激响应是ha t 由拉普拉斯变换 设模拟滤波器Ha s 只有单阶极点 且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次 一 脉冲响应不变法 6 3 1 式中si为Ha s 的单阶极点 将Ha s 用部分分式表示 6 3 1 式中si为Ha s 的单阶极点 将Ha s 用部分分式表示 将Ha s 进行逆拉氏变换得到ha t 式中u t 是单位阶跃函数 6 3 2 对ha t 进行等间隔采样 采样间隔为T 得到 6 3 3 对上式进行Z变换 得到数字滤波器的系统函数H z 6 3 1 比较 二 标准映射关系 所以 即 由此得到标准映射关系 6 3 6 设 按照z esT式 得到 因此得到 6 3 10 即 当 0时 r 1 S平面上的虚轴映射到z平面的单位圆 当 0时 r 1 当 0时 r 1 S平面上的左半平面映射到z平面的单位圆内 S平面上的右半平面映射到z平面的单位圆外 另外 z esT是一个周期函数 可写成 所以 可见数字频率 与模拟频率 是线性关系但不是一一对应的 0 r 1 0 r 1 图6 3 1z esT s平面与z平面之间的映射关系 s平面 z平面 采样信号的频谱与原模拟信号的关系 离散信号x n 的频谱与原模拟信号的关系 比较 有 在中 令 0 r 1 也可得到这个结论 1 脉冲响应不变法 变换方法 采样 若 则 2 标准映射关系 是否满足第一点要求 3 是否满足第二点要求 0 0 模拟滤波器 希望的数字滤波器 转换后 0 实际的数字滤波器 三 频谱混叠现象 设模拟滤波器的频谱为 6 3 7 将 6 3 7 式代入上式 可得 假设 在这种情况下 用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以重现原模拟滤波器的频响 则 图6 3 2脉冲响应不变法的频率混叠现象 脉冲响应不变法不适合设计高通滤波器和带阻 四 滤波器的传输函数 一般Ha s 的极点si是一个复数 且以共轭成对的形式出现 在中将一对复数共轭极点放在一起 形成一个二阶基本节 相应的数字滤波器二阶基本节 只有实数乘法 的形式为 6 3 12 如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为 6 3 11 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 6 3 14 相应的数字滤波器二阶基本节的形式为 6 3 13 脉冲响应不变法的优点与缺点 优点 1 频率变换线性 2 时域特性好 缺点 频谱混叠 不适合设计高通和带阻 用脉冲响应不变法将Ha s 转换成数字滤波器的系统函数H z 例6 3 1已知模拟滤波器的传输函数Ha s 为 极点为 解首先将Ha s 写成部分分式 式中T是采样间隔 T的选取应满足抽样定理 方法一 按照 并经过整理 得到 那么H z 的极点为 设T 1s时用H1 z 表示 T 0 1s时用H2 z 表示 则 方法二 转换时 也可以直接按照 6 3 13 6 3 14 式进行转换 首先将Ha s 写成 6 3 13 式的形式 如极点s1 2 1 j 1 则 再按照 6 3 14 式 H z 为 图6 3 3例6 3 1的幅度特性 图 a 表示模拟滤波器的幅度特性 图 b 表示数字滤波器的幅度特性 模拟频率 与数字频率 满足 T 如T 0 1s a 图中C点 15rad s 4 77 rad s b 图中c点 4 77 0 1 0 477 rad 令 a 图的纵坐标为 令 b 图的纵坐标为 P1946 解 收敛域包括虚轴 另解 直接对采样 数值上 因此有 则 数字系统为低通滤波器 五 脉冲响应不变法的MATLAB实现 Bz Az impinvar B A Fs 用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器 B A分别是模拟滤波器系统函数Ha s 分子分母多项式的系数 Bz Az分别是数字滤波器系统函数H z 分子分母多项式的系数 Fs为采样频率 impluseinvariable 例题6 3 1的转换程序b 0 5012 a 1 0 6449 0 7079 h w freqs b a 计算模拟滤波器的频响subplot 2 1 1 plot w 1 180 20 log10 abs h 1 180 max h gridonxlabel 归一化角频率 ylabel 幅度 title 模拟滤波器 bz az impinvar b a 1 h w freqz bz az 计算数字滤波器的频响subplot 2 1 2 plot w pi 20 log10 abs h max h gridonxlabel 以 pi 为单位 ylabel 幅度 title 数字滤波器 holdon bz az impinvar b a 10 h w freqz bz az 计算数字滤波器的频响subplot 2 1 2 plot w pi 20 log10 abs h max h gridonxlabel 以 pi 为单位 ylabel 幅度 title 数字滤波器 例题6 3 1的转换结果 例 用脉冲响应不变法设计数字滤波器 要求通带和阻带具有单调下降特性 技术指标如下 解 要求数字滤波器的通带和阻带具有单调下降特性 可采用巴特沃思模拟滤波器作为原型 设计步骤 1 利用关系将数字频率转换为模拟频率 2 先设计巴特沃思模拟滤波器 3 用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器 将数字频率转换为模拟频率 假设T 1s 第二步 第三步用MATLAB实现 程序如下 结果如下 wp 0 2 pi ws 0 35 pi Rp 2 As 30 设置滤波器参数 N wc buttord wp ws Rp As s 计算滤波器阶数N和3dB截止频率 B A butter N wc s 计算滤波器系统函数分子分母多项式系数N Hk wk freqs B A subplot 2 1 1 plot wk 1 150 20 log10 abs Hk 1 150 gridonxlabel 频率 Hz ylabel 幅度 dB bz az impinvar B A 1 h w freqz bz az 计算数字滤波器的频响subplot 2 1 2 plot w pi 20 log10 abs h max h gridonxlabel 以 pi 为单位 ylabel 幅度 title 数字滤波器 如果频率指标是用数字频率给的 采样间隔可任取 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 为了克服频谱混叠的缺点 采用非线性频率压缩方法 即 将整个频率轴上的频率范围压缩到之间 再用转换到z平面上 一 非线性频率压缩 图6 4 1双线性变换法的映射关系 当 1从 T经过0变化到 T时 则由 经过0变化到 实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的 T之间的转换 用正切变换实现频率压缩 6 4 1 式中T是采样间隔 设 经非线性频率压缩后 用表示 这样 由s j 和s1 j 1得到 6 4 2 6 4 3 6 4 4 称为双线性变换 将代入 得 由 将s平面映射为s1平面 图6 4 1双线性变换法的映射关系 二 模拟频率 和数字频率 之间的关系 令s j z ej 并代入中 有 图6 4 2双线性变换法的频率变换关系 6 4 5 所以 模拟频率与数字频率是一一对应的 但非线性 图6 4 3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 三 幅度特性和相位特性的失真 设 四 数字滤波器的传输函数 则 表6 4 1系数关系表 小结 用双线性变换法将模拟滤波器Ha s 转换为数字滤波器H z 1 转换方法 2 频率映射关系 3 优点 没有频谱混叠 4 缺点 频率关系非线性 例6 4 1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6 4 4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器 解 首先按照图6 4 4写出该滤波器的传输函数Ha s 为 图6 4 4RC低通滤波器 利用脉冲响应不变法转换 数字滤波器的系统函数H1 z 为 利用双线性变换法转换 数字滤波器的系统函数H2 z 为 图6 4 5例6 4 1图 H1 z 和H2 z 的网络结构 a H1 z b H2 z 脉冲响应不变法 双线性变换法 图6 4 6例6 4 1图 数字滤波器H1 z 和H2 z 的幅频特性 总结 利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤 1 确定数字低通滤波器的技术指标 通带截止频率 p 通带衰减 p 阻带截止频率 s 阻带衰减 s 2 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 如果采用双线性变换法 边界频率的转换关系为 T可任选 T 如果采用脉冲响应不变法 边界频率的转换关系为 具体转换 3 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器Ha s 4 将模拟滤波器Ha s 从s平面转换到z平面 得到数字低通滤波器系统函数H z 采样间隔T的选择 1 脉冲响应不变法要求 选择T满足 s是阻带截止频率 2 双线性变换法T可任选 一般选T 1 若先给定数字滤波器的技术指标 脉冲响应不变法和双线性变换法的T可任选 一般选T 1 例6 4 2设计低通数字滤波器 要求在通带内频率低于0 2 rad时 容许幅度误差在1dB以内 在频率0 3 到 之间的阻带衰减大于15dB 指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器 解 1 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 p 0 2 rad s p 1dB s 0 3 rad s s 15dB 模拟低通的技术指标为 选T 1s 由 T可得 数字低通的技术指标为 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 设计巴特沃斯低通滤波器 先计算阶数N及3dB截止频率 c 取N 6 此值满足通带技术要求 同时给阻带衰减留一定余量 这对防止频率混叠有一定好处 为求3dB截止频率 c 将 p和 p代入下式 得到 为去归一化 将p s c代入Ha p 中 得到实际的传输函数Ha s 根据阶数N 6 查表6 2 1 得到归一化传输函数为 用脉冲响应不变法将Ha s 转换成H z 图6 4 7例6 4 2图 用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性 wp 0 200 pi ws 0 30 pi Rp 1 As 15 设置滤波器参数 N wc buttord wp ws Rp As s 计算阶数N和3dB截止频率 用阻带参数 B A butter N wc s 计算系统函数分子分母多项式系数 bz az impinvar B A 脉冲响应不变法转换为数字系统 N 6wc 0 7087B 0000000 1266A 1 00002 73803 74843 25331 88240 69050 1266bz 0 00000 00070 01050 01670 00420 00010az 1 0000 3 34435 0183 4 21902 0725 0 56000 0647 模拟低通的技术指标为 2 用双线性变换法设计数字低通滤波器 数字低通技术指标仍为 p 0 2 rad p 1dB s 0 3 rad s 15dB 设计巴特沃斯低通滤波器 这样阻带技术指标满足要求 通带指标已经超过 阶数N计算如下 N 6 用计算 c 得到 c 0 7662rad s 根据N 6 查表6 2 1得到的归一化传输函数Ha p 与脉冲响应不变法得到的相同 为去归一化 将p s c代入Ha p 得实际的Ha s 用双线性变换法将Ha s 转换成数字滤波器H z 图6 4 8例6 4 2图 用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性 wp 0 65 pi 3 14 ws 1 019 pi 3 14 Rp 1 As 15 设置滤波器参数 N wc buttord wp ws Rp As s 计算阶数N和3dB截止频率 B A butter N wc s 计算系统函数分子分母多项式系数 S G tf2sos B A 将直接型转换为级联型 bz az bilinear B A 1 用双线性变换 Sz Gz tf2sos bz az 将直接型转换为级联型 N 6wc 0 7666B 0000000 2029A 1 00002 96184 38624 11812 57751 02280 2029S 001 00001 00001 48090 5876001 00001 00000 39680 5876001 00001 00001 08410 5876G 0 2029bz 0 00070 00440 01110 01480 01110 00440 0007az 1 0000 3 18244 6194 3 77631 8118 0 47940 0544Sz 1 00002 02601 02621 0000 0 90400 21541 00001 99971 00001 0000 1 01020 35811 00001 97430 97451 0000 1 26820 7050Gz 7 3937e 004 Bz Az bilinear B A Fs 用双线性变换法将分子分母多项式系数分别为B和A的模拟滤波器系统函数Ha s 转换为数字滤波器H z Bz和Az分别为H z 的分子分母多项式系数 Fs为抽样频率 五 双线性变换法的MATLAB实现 N wc buttord wp ws Rp As B A butter N wc ftype 直接设计数字滤波器的命令 N wc ellipord wp ws Rp As B A ellip N wc 默认用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 用巴特沃斯模拟滤波器作为原型设计数字滤波器 用椭圆模拟滤波器作为原型设计数字滤波器 用MATLAB实现 N wc buttord wp ws Rp As s B A butter N wc ftype s 高通 ftype high 带通 wp ws均为二元向量 ftype缺省 带阻 wp ws均为二元向量 ftype stop P193习题15 1 78 6 5数字高通 带通和带阻滤波器的设计 具体设计步骤 1 确定所需类型数字滤波器的技术指标 2 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标 转换公式为 3 将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标 具体转换公式参考本章6 2节 6 采用双线性变换法 将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器 5 将模拟低通通过频率变换 转换成所需类型的模拟滤波器 4 设计模拟低通滤波器 1 数字高通的技术指标为 p 0 8 rad p 3dB s 0 44 rad s 15dB 例6 5 1设计一个数字高通滤波器 要求通带截止频率 p 0 8 rad 通带衰减不大于3dB 阻带截止频率 s 0 44 rad 阻带衰减不小于15dB 希望采用巴特沃斯型滤波器 解 设计方法为 设计模拟低通滤波器 将模拟低通滤波器用频率变换法转换为模拟高通滤波器 再用双线性变换法将模拟高通滤波器转换为数字高通滤波器 2 模拟高通的技术指标计算如下 令T 1 则由得 3 模拟低通技术指标 4 设计归一化模拟低通滤波器HL p 模拟低通滤波器的阶数N计算如下 查表6 2 1 得到归一化模拟低通传输函数HL p 去归一化 令p s cl 得到HL s 5 将模拟低通转换成模拟高通 6 用双线性变换法将模拟高通HH s 转换成数字高通H z 也可以这样作 设计模拟低通滤波器 将模拟低通滤波器转换为数字低通滤波器 再用频率变换法将数字低通滤波器转换为数字高通滤波器 1 零极点累试法 6 6IIR数字滤波器的直接设计法 在确定零极点位置时要注意 1 极点必须位于z平面单位圆内 保证数字滤波器因果稳定 2 复数零极点必须共轭成对 保证系统函数有理式的系数是实的 例6 6 1设计带通滤波器 通带中心频率 0 2 0 时 幅度衰减到0 解 由 0 2为通带中心频率可确定极点 由 0 时 幅度衰减到0可确定零点 写出H z 如下 系数G用于对某一固定频率的幅度要求确定 如果要求 2处幅度为1 则 即 同时设r 0 7 0 9可得G 0 255 0 095 代入H z 得 频率特性 画出幅频特性如图所示 图6 6 1例6 6 1图 a 零极点分布 b 幅度特性 设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成 系统函数用H z 表示 6 6 1 2 在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器 式中 A是常数 ai bi ci di是待求的系数 如果在 0 区间取N点数字频率 i i 1 2 N 在这N点频率上 比较 Hd ej 和 H ej 写出两者的幅度平方误差E为 6 6 2 设Hd ej 是希望设计的滤波器频响 在 6 6 1 式中共有 4K 1 个待定的系数 求它们的原则是使E最小 例如 要求设计一个低通滤波器 频率特性逼近下式 假定所设计的滤波器的系统函数为 对采样 得 所设计的滤波器的频率函数为 令 解方程组 可以得到滤波器系数a b c d 最后可得系统函数 P193习题15 1 78 6 4 2 式的推导