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第四节 数列求和最新考纲数列求和的常见方法1.公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和（1）等差数列的前n项和公式：Snna1d.（2）等比数列的前n项和公式：Sn（3）一些常见数列的前n项和公式1234n.13572n1n2.24682nn(n1)1222n2.【例1】已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_【答案】27【解析】由a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为1，公差为的等差数列，故S99a191827.【变式训练1】若等比数列an满足a1a410，a2a520，则an的前n项和Sn_.【答案】Sn(2n1)【解析】由题意a2a5q(a1a4)，得20q10，故q2，代入a1a4a1a1q310，得9a110，即a1.故Sn(2n1)2.倒序相加法：如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的3.并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.【例2】已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前2n项和.【答案】(1) an2n1；(2)T2n2n2.【解析】(1)设数列an的公比为q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由题意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首项为，公差为1的等差数列.设数列(1)nb的前n项和为Tn，则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.【变式训练2】数列an的通项公式anncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于()A.1 008 B.2 016 C.504 D.0【答案】A4.分组转化法求和：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减【例3】(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和【答案】（1）an2n1(n1,2,3，)；（2）Snn2.【解析】(1)等比数列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27.设等差数列an的公差为d，因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2，所以an2n1(n1,2,3，)(2)由(1)知，an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1，从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.规律方法 分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和（3）某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论【变式训练3】已知数列an的前n项和Sn，nN.(1)求数列an的通项公式； 故使Snn2n150成立的正整数n的最小值为5.
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