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2.3.2平面与平面垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法题号二面角的概念及求解3,6,8,9,10面面垂直的定义及判定定理的理解1面面垂直的判定4,5综合问题2,7,11,12基础巩固1.下列说法中,正确的是(B)(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有B正确.2.(2018江西三市联考)设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则(C)(A)若a,b,则ab(B)若a,a,则(C)若ab,a,则b(D)若a,则a解析:选项A.若a,b,则ab,或a,b异面或a,b相交,A错;选项B.若a,a,则,或=b,B错;选项C.若ab,a,则b,C正确;选项D.若a,则a或a或a,D错.故选C.3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为(C)(A)60(B)30(C)45(D)15解析:易得BC平面PAC,所以PCA是二面角P-BC-A的平面角,在RtPAC中,PA=AC,所以PCA=45.故选C.4.如图所示,已知PA矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有(D)(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对解析:由PA矩形ABCD知,平面PAD平面ABCD,平面PAB平面ABCD;由AB平面PAD知,平面PAB平面PAD;由BC平面PAB知,平面PBC平面PAB;由DC平面PAD知,平面PDC平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.选D.5.如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成几何体A-BCD,则在几何体A-BCD中,下列结论正确的是(D)(A)平面ABD平面ABC(B)平面ADC平面BDC(C)平面ABC平面BDC(D)平面ADC平面ABC解析:由已知得BAAD,CDBD,又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD,从而CDAB,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.选D.6.如图所示,在ABC中,ADBC,ABD的面积是ACD的面积的2倍.沿AD将ABC翻折,使翻折后BC平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在RtBCD中,BDC=60,而ADBD,CDAD,故BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小为60.故选C.7.如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD平面ACD,则折叠后BC=.解析:因为在原ABC中,ADBC,所以折叠后有ADBD,ADCD,所以BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD平面ACD,所以BDC=90.在RtBCD中,BDC=90,BD=CD=22,所以BC=(22)2+(22)2=1.答案:18.如图所示,=CD,P为二面角内部一点.PA,PB,垂足分别为A,B.(1)证明:ABCD;(2)若PAB为等边三角形,求二面角-CD-的大小.(1)证明:因为PAPACD,PBPBCD,PAPB=P,所以CD平面PAB,所以ABCD.(2)解:如图所示,设平面PABCD=O,则由(1)可知,OBCD,OACD,从而BOA是二面角-CD-的平面角.因为PAOA,PBOB,所以AOB+APB=180.因为PAB为等边三角形,所以APB=60.故二面角-CD-的平面角为120.能力提升9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,则下列结论中错误的是(D) (A)D1O平面A1BC1(B)MO平面A1BC1(C)异面直线BC1与AC所成的角等于60(D)二面角M-AC-B等于90解:对于选项A,连接B1D1,交A1C1于E,连接BO,则四边形D1OBE为平行四边形,所以D1OBE,因为D1O平面A1BC1,BE平面A1BC1,所以D1O平面A1BC1,故正确;对于选项B,连接B1D,因为O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,所以MOB1D,易证B1D平面A1BC1,所以MO平面A1BC1,故正确;对于选项C,因为ACA1C1,所以A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角,因为A1C1B为等边三角形,所以A1C1B=60,故正确;对于选项D,因为BOAC,MOAC,所以 MOB为二面角M-AC-B的平面角,显然不等于90,故不正确.综上知,选D.10.正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于.解析:设AC与BD相交于O点,因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AOBD,又AA1平面ABCD,所以AA1BD,又AOAA1=A,所以BD平面A1AO,所以BDA1O,所以A1OA为二面角A1-BD-A的平面角,设正方体的棱长为a,在直角A1AO中,AA1=a,AO=22a,所以tanA1OA=a22a=2.答案:211.如图所示,已知正方形ABCD的边长为2,ACBD=O.将三角形ABD沿BD折起,得到三棱锥A-BCD.(1)求证:平面AOC平面BCD,(2)若三棱锥A-BCD的体积为63,求AC的长.(1)证明:折叠前,因为四边形ABCD是正方形,所以BDAO,BDCO.在折叠后的ABD和BCD中,仍有BDAO,BDCO.因为AOCO=O,AO平面AOC,CO平面AOC,所以BD平面AOC.因为BD平面BCD,所以平面AOC平面BCD.(2)解:设三棱锥A-BCD的高为h,由于三棱锥A-BCD的体积为63,所以13SBCDh=63.因为SBCD=12BCCD=1222=2,所以h=62AO=2.以下分两种情形求AC的长.当AOC为钝角时,如图,过点A作CO的垂线AH交CO的延长线于点H,由(1)知BD平面AOC,所以BDAH.又COAH,且COBD=O,所以AH平面BCD.所以AH为三棱锥A-BCD的高,即AH=62.在RtAOH中,因为AO=2,所以OH=AO2-AH2=(2)2-(62)2=22.在RtACH中,因为CO=2,所以CH=CO+OH=2+22=322,所以AC=AH2+CH2=(62)2+(322)2=6.当AOC为锐角时,如图,过点A作CO的垂线AN交CO于点N,由(1)知BD平面AOC,所以BDAN.又COAN,且COBD=O,CO平面BCD,BD平面BCD,所以AN平面BCD.所以AN为三棱锥A-BCD的高,即AN=62.在RtAON中,因为AO=2,所以ON=AO2-AN2=(2)2-(62)2=22.在RtACN中,因为CO=2,所以CN=CO-ON=2-22=22,所以AC=AN2+CN2=(62)2+(22)2=2.综上可知,AC的长为2或6.探究创新12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求证:B1C1平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD平面BDE,并说明理由.(1)证明:连接AB1,与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连接MD.又D为AC的中点,所以B1CMD.又B1C平面A1BD,MD平面A1BD,所以B1C平面A1BD.(2)证明:因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1BAB1.又因为AC1平面A1BD,所以AC1A1B.所以A1B平面AB1C1,所以A1BB1C1.又在棱柱ABC-A1B1C1中BB1B1C1,所以B1C1平面ABB1A.(3)解:当点E为C1C的中点时,平面A1BD平面BDE,因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DEAC1.因为AC1平面A1BD,所以DE平面A1BD.又DE平面BDE,所以平面A1BD平面BDE.
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