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3.2.2直线的两点式方程【选题明细表】 知识点、方法题号直线的两点式方程2,3,11直线的截距式方程5,7,10中点坐标公式、直线方程的理解及应用1,4,6,8,9,12,13基础巩固1.下列四个命题中的真命题是(B)(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示(C)不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示解析:当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确,选项B正确.故选B.2.(2018三明市高一测试)已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程为(A)(A)x+y+1=0(B)x-y+1=0(C)x+2y+1=0(D)x+2y-1=0解析:由两点式得直线l的方程为y+22-(-2)=x-1-3-1,即y+2=-(x-1).故选A.3.已知ABC的三个顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为(A)(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0解析:由中点坐标公式知M(2,4),N(3,2),由两点式方程知MN所在的直线方程为2x+y-8=0.故选A.4.直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(A)(A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0(C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0解析:设所求的直线方程为xa+yb=1.所以1a+3b=1,12|ab|=6,解得a=2,b=6.故所求的直线方程为3x+y-6=0.故选A.5.(2018安徽黄山调研)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(D)(A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:当a=0时,y=2不合题意.当a0时,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=a+2a,则a+2a=a+2,得a=1或a=-2.故选D.6.点M(4,1)关于点N(2,-3)的对称点P的坐标为.解析:设P(x,y),则2=4+x2,-3=1+y2,所以x=0,y=-7.故点P的坐标为(0,-7).答案:(0,-7)7.已知直线mx-2y-3m=0(m0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m= .解析:直线方程可化为x3-y3m2=1,所以-3m24=3,所以m=-12.答案:-128.已知ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).(1)求边AB所在的直线方程;(2)求中线AD所在直线的方程.解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k=5-31-0=2.它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.(2)B(1,5)、C(3,-5),1+32=2,5+(-5)2=0,所以BC的中点D(2,0).由截距式得中线AD所在的直线的方程为x2+y3=1.能力提升9.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy (D)(A)无最小值且无最大值(B)无最小值但有最大值(C)有最小值但无最大值(D)有最小值且有最大值解析:线段AB的方程为x3+y4=1(0x3),于是y=4(1-x3)(0x3),从而xy=4x(1-x3)=-43(x-32)2+3,显然当x=320,3时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.故选D.10.(2018四川宜宾模拟)过点P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(B)(A)2x-3y=0(B)3x-2y=0或x+y-5=0(C)x+y-5=0(D)2x-3y=0或x+y-5=0解析:当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时,设该直线的方程为x+y=a,把(2,3)代入所设的方程得a=5,则所求直线的方程为x+y=5即x+y-5=0;当所求的直线与两坐标轴的截距都为0时,设该直线的方程为y=kx,把(2,3)代入所求的方程得k=32,则所求直线的方程为y=32x,即3x-2y=0.综上,所求直线的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故选B.11.经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .解析:当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;当a1时,由两点式,得y-34-3=x-1a-1,即x-(a-1)y+3a-4=0.这个方程中,对a=1时方程为x=1也满足.所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.答案:x-(a-1)y+3a-4=012.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线ABCD,求m的值.解:因为A、B两点纵坐标不相等,所以AB与x轴不平行.因为ABCD,所以CD与x轴不垂直,-m3,即m-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.而m=-1时C、D纵坐标均为-1,所以CDx轴,此时ABCD,满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式kAB=4-2-2m-4-(-m-3)=2-(m+1),kCD=3m+2-m3-(-m)=2(m+1)m+3.因为ABCD,所以kABkCD=-1,即2-(m+1)2(m+1)m+3=-1,解得m=1,综上m的值为1或-1.探究创新13.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图,BCCD)上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,如图,则A(0,60),B(90,0).AB所在的直线方程为x90+y60=1,即y=60-23x.所以可设P(x,60-23x),其中0x90,开发面积S=(300-x)(240-y)=(300-x)240-(60-23x)=-23x2+20x+ 54 000(0x90).当x=-202(-23)=15,且y=50时,S取最大值54 150.即矩形顶点P距离AE 15 m,距离BC 50 m时,面积最大,为54 150 m2.
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