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第1讲概率、随机变量及其分布列 (限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号抽样方法1,5古典概型2,3,6,11,12几何概型4,7,9离散型随机变量的分布列8,11,12正态分布10一、选择题1.(2018福州市质检)为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(C)(A)简单随机抽样 (B)按性别分层抽样(C)按年龄段分层抽样(D)系统抽样解析:根据题意及分层抽样的特点,最合理的抽样方法是按年龄段分层抽样.故选C.2.(2018武汉市四月调研)一张储蓄卡的密码共由6位数字组成,每位数字都可以是09中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率为(C)(A)25(B)310(C)15(D)110解析:按1次按对的概率为110,按2次按对的概率为91A102=110,由互斥事件的概率公式得所求的概率为P=110+110=15.故选C.3.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(D)(A)18(B)38(C)58(D)78解析:法一4位同学,每位同学都可以选周六、周日参加活动,每位同学有2种选法,根据乘法原理,共有24=16种方法.其中周六、周日都有同学参加活动的方法有C41A22+C42=14种.则所求概率为P=1416=78.故选D.法二4位同学任选周六、周日的基本事件数为24,都选择同一天活动为2种,则所求事件的概率为1-224=78.故选D.4.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,其证明方法有几百种之多.著名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图,在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形CFGH组成的.若RtABC的三边长构成等差数列,则在正方形ABDE内任取一点,此点取自小正方形CFGH内的概率为(C)(A)149(B)325(C)125(D)2549解析:法一由于RtABC的三边长成等差数列,所以2b=a+c,又a2+b2=c2,于是(2b-c)2+b2=c2,故bc=45,ac=35.大正方形ABDE的面积为c2,小正方形CFGH的面积为(b-a)2,在正方形ABDE内任取一点,此点取自小正方形CFGH内的概率为(b-a)2c2=(bc-ac)2=125.故选C.法二由于RtABC的三边长成等差数列,不妨设a=3,b=4,c=5,于是大正方形ABDE的面积为c2=25,小正方形CFGH的面积为(b-a)2=1,所以在正方形ABDE内任取一点,此点取自小正方形CFGH内的概率为125.故选C.5.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从3348这16个数中抽到的数是39,则在116中随机抽到的数是(B)(A)5(B)7(C)11(D)13解析:把800名学生平均分成50组,每组16人,各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组,所以第1组抽到的数为39- 32=7.故选B.6.(2018湖北武汉高三调研)将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是(C)(A)736(B)12(C)1936(D)518解析:若方程ax2+bx+1=0有实根,则必有=b2-4a0,若a=1,则b=2,3,4,5,6;若a=2,则b=3,4,5,6;若a=3,则b=4,5,6;若a=4,则b=4,5,6;若a=5,则b=5,6;若a=6,则b=5,6,所以事件“方程ax2+bx+1=0有实根.”包含基本事件共5+4+3+3+2+2=19,所以事件的概率为1936.故选C.7.(2018河北省“五个一名校联盟”二次考试)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落在阴影部分(曲线C的方程为x2-y=0)的点的个数约为(B)(A)3 333(B)6 667(C)7 500(D)7 854解析:题图中阴影部分的面积为01 (1-x2)dx=(x-x33)|01=23,正方形的面积为1,设落在阴影部分的点的个数为n,由几何概型的概率计算公式可知,231=n10 000,n6 667.故选B.二、填空题8.(2018浙江杭州模拟)随机变量的分布列为-1012Px1316y若E()=13,则x+y=,D()=.解析:因为E()=13,所以由随机变量的分布列,知x+13+16+y=1,-x+16+2y=13,所以x+y=12,x=518,y=29,D()=(-1-13)2518+(0-13)213+(1-13)216+(2-13)229=119.答案:121199.甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有3班公共汽车,它们开车时刻分别为7:20,7:40,8:00,如果他们约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为.解析:设甲到达该站的时刻为x,乙到达该站的时刻为y,则7x8, 7y8,即甲、乙两人到达该站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位)正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人要想乘同一班车,必须满足7x713,7y713或713x723,713y723或723x8,7234)=.解析:由题意结合正态分布的性质可知P(2X4)=0.3,则P(X4)=1-0.322=0.2.答案:0.2三、解答题11.(2018山西省六校第四次联考)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的20件产品作为样本.称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495,(495,500, (510,515,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)在上述抽取的20件产品中任取2件,设X为取到重量超过505克的产品件数,求X=2的概率;(2)从上述20件产品中任取2件产品,设Y为取到重量超过505克的产品件数.求Y的分布列与期望.解:(1)由频率分布直方图可知,重量超过505克的产品件数是20(0.055+0.015)=6,所以P(X=2)=C62C202=338.(2)Y的所有可能取值为0,1,2,由(1)知重量超过505克的产品有6件.P(Y=0)=C142C202=91190,P(Y=1)=C61C141C202=4295,P(Y=2)=C62C202=338,所以Y的分布列为Y012P911904295338E(Y)=091190+14295+2338=5795.12.(2018洛阳市统考)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元;乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:记乙公司送餐员日工资为X(单位:元),求X的分布列和数学期 望E(X);小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.解:(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M,则P(M)=C253C503=23196.(2)设乙公司送餐员的送餐单数为a,当a=38时,X=386=228,当a=39时,X=396=234,当a=40时,X=406=240,当a=41时,X=406+17=247,当a=42时,X=406+27=254.所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.故X的分布列为X228234240247254P110151525110所以E(X)=228110+23415+24015+24725+254110=241.8.依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2+390.3+400.2+410.2+420.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为80+439.7=238.8元.由得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元.因为238.8241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.
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