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课堂达标(四十六) 圆锥曲线的综合问题A基础巩固练1已知点A(0,2)和双曲线x21，过点A与双曲线只有一个公共点的直线的条数为()A1B2C3D4解析设过点A(0,2)的直线为ykx2.由得(4k2)x24kx80.当k24即k2时，方程只有一解，即只有一个交点当k24，方程有一解时(4k)24(4k2)(8)0，k28，k2，为切线斜率，共有4条直线故选D.答案D2(2018嘉定模拟)过点P(1,1)作直线与双曲线x21交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线()A存在一条，且方程为2xy10B存在无数条C存在两条，方程为2x(y1)0D不存在解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y22，则xy1，xy1，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以x1x2(y1y2)，即kAB2，故所求直线方程为y12(x1)，即2xy10.联立可得2x24x30，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在故选D.答案D3若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析由得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得k0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，根据题意得p，抛物线的方程是y23x.答案y23x10已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，解得k1.B能力提升练1(2018河南洛阳统考)已知双曲线C：1(a0，b0)斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该双曲线交于A，B两点，若与向量n(3，1)共线，则双曲线C的离心率为()A. B.C. D3解析由题意得直线方程为yxc，代入双曲线的方程并整理可得(b2a2)x22a2cxa2c2a2b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2x1x22c，又与向量n(3，1)共线，3，a23b2，又c2a2b2，e.答案B2(2018丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.答案C3如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.解析由正方形的定义可知BCCD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|pa，D(，0)，F(b，b)，将点F的坐标代入抛物线的方程得b22p(b)a22ab，变形得()210，解得1或1(舍去)，所以1.答案14已知双曲线C：x21，直线y2xm与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为_解析由可得x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设f(x)x24mxm23，则得m1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11得，的取值范围为(1,74)答案(1,74)5设抛物线过定点A(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x1，y)再根据抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹C的方程为x21.(2)设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN21，yMyN2y0，代入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0km.所以my0ky0.由点P在线段BB上，所以yBy0yB，也即y0.所以m，且m0.C尖子生专练(2018山东省烟台市期末)已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(0，)，(0，)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m0)(1)求顶点C的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；(2)当m时，设点P(0,1)，过点P作直线l与曲线交于E，F两点，且，求直线l的方程解(1)令C点坐标为(x，y)，则直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，所以有k1k2m，化简得，x21(x0)所以当m1时，表示以(0,0)为圆心，为半径的圆，且除去(0，)，(0，)两点；当m1时，轨迹表示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0，)，(0，)两点；当1m0时，轨迹表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0，)，(0，)两点；当m0时，轨迹表示焦点在y轴上的双曲线，且除去(0，)，(0，)两点(2)由题意知当m时曲线C为1(x0)，当直线l的斜率不存在时，不符合题意设直线l的方程为ykx1，代入椭圆方程整理得(34k2)x28kx80.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由得，x13x2.由韦达定理得x1x2，x1x2，所以x2，x，消去x2，解得k，所以直线l的方程为yx1.
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