2019-2020年高一数学教案：3.5.1 对数函数的概念（北师大版必修1）.doc

2019-2020年高一数学教案：3.5.1 对数函数的概念（北师大版必修1）真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零， 底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1？ 【在一个普通对数式里 a0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga Mn = nloga M 如果a0，且a1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 底数则要0且1 真数0 对数的运算性质当a0且a1时，M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR） (4)log(an)(M)=1/nlog(a)(M)(nR) （5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b1） (6)a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明： 设a=nx则a(log(b)n)=（nx）log(b)n=n（xlog(b)n）=nlog(b)（nx）=n(log(b)a) (7)对数恒等式：alog（a)N=N; log（a）ab=b （8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 1.log(a)M(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(an)Mn=log(a)M , log(an)Mm=(m/n)log(a)M 4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M , log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M 5.log(a)blog(b)clog(c)a=1 对数与指数之间的关系当a0且a1时，ax=N x=(a)N 编辑本段对数函数右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 （1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。 （2） 对数函数的值域为全部实数集合。 （3） 函数图像总是通过（1，0）点。 （4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。X k b 1 . c o m（5） 显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质： 如果a0，且a不等于1,M0,N0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n属于R） （4）log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=x log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 换底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(约为2.718281828454590) lg 常用对数 以10为底 编辑本段常用简略表达方式（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b) （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828454590.通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义 对数函数的一般形式为 y=(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a0且a1），同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 编辑本段性质w w w .x k b 1.c o m定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是x x0，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需满足x0且x1 。 2x-10 ，x1/2且x1，即其定义域为 x x1/2且x1值域：实数集R 定点：函数图像恒过定点（1，0）。 单调性：a1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸 0a0,a!=1-(log a(x)=lim(x)(log a(x+x)-log a(x)/x)=lim(x)(1/x*x/x*log a(x+x)/x)=lim(x)(1/x*log a(1+x/x)(x/x)=1/x*lim(x)(log a(1+x/x)(x/x)=1/x*log a(lim(x0)(1+x/x)(x/x)=1/x*log a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x)=(ln x)=1/x。-设y=ax两边取对数ln y=xln a两边对求x导y/y=ln ay=yln a=axln a特殊地，当a=e时，y=(ax)=(ex)=exln e=ex。