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11.1平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)问题1：若旅游者从A点爬到B点，则自变量x和函数值y的改变量x，y分别是多少？提示：xx1x0，yy1y0.问题2：如何用x和y来刻画山路的陡峭程度？提示：对于山坡AB，可用来近似刻画山路的陡峭程度问题3：试想的几何意义是什么？提示：表示直线AB的斜率问题4：从A到B，从A到C，两者的相同吗？的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.的值越大，山路越陡峭1一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.2平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：(1)函数在x1，x2上有意义；(2)在式子中，x2x10，而f(x2)f(x1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x1取定值后，x2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x2取定值后，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同求函数在某区间的平均变化率例1(1)求函数f(x)3x22在区间2,2.1上的平均变化率；(2)求函数g(x)3x2在区间2，1上的平均变化率思路点拨求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率精解详析(1)函数f(x)3x22在区间2,2.1上的平均变化率为：12.3.(2)函数g(x)3x2在区间2，1上的平均变化率为3.一点通求函数平均变化率的步骤为：第一步：求自变量的改变量x2x1；第二步：求函数值的改变量f(x2)f(x1)；第三步：求平均变化率.1函数g(x)3x在2,4上的平均变化率是_解析：函数g(x)3x在2,4上的平均变化率为3.答案：32.如图是函数yf(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；(2)函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_解析：(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.(2)由函数f(x)的图象知，f(x)所以，函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.答案：(1)(2)3本例条件不变，分别计算f(x)与g(x)在区间1,2上的平均变化率，并比较变化率的大小解：(1)9.(2)3.f(x)比g(x)在1,2上的平均变化率大实际问题中的平均变化率例2物体的运动方程为S(位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t1 s到t(1t)s这段时间内的平均速度思路点拨求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值精解详析物体在1,1t内的平均速度为(m/s)即物体在t1 s到t(1t)s这段时间内的平均速度为 m/s.一点通平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等分清自变量和因变量是解决此类问题的关键4圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为_解析：Sr2，圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为0.4.答案：0.45在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S10t5t2，则赛车在20,20.1上的平均速度是多少？解：赛车在20,20.1上的平均速度为210.5(m/s)函数平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？思路点拨要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论精解详析在t0处s1(t0)s2(t0)，但，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大一点通平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为，则三者的大小关系是_解析：kOA，kAB，kBC，由图象知：kOAkAB.答案：7A、B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是_(填序号)两机关节能效果一样好；A机关比B机关节能效果好；A机关在0，t0上的用电平均变化率比B机关在0，t0上的用电平均变化率大；A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大解析：由图可知，在t0时，W1(0)W2(0)，当tt0时，W1(t0)W2(t0)，所以.故只有正确答案：1求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点2一次函数的平均变化率一次函数ykxb(k0)在区间m，n上的平均变化率为k.由上述计算可知，一次函数ykxb，在区间m，n上的变化率与m，n的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数3平均变化率的几何意义(1)平均变化率表示点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度对应课时跟踪训练(一)一、填空题1函数f(x)x21在区间1,1.1上的平均变化率为_解析：2.1.答案：2.12函数f(x)2x4在区间a，b上的平均变化率为_解析：2.答案：23某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为cc(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后3070 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为_解析：0.002.答案：0.0024.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t0范围内甲的平均速度_乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平均速度_乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)解析：由图可知，在0，t0上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在t0，t1上，甲的平均速度大于乙的平均速度答案：等于大于5函数yx32在区间1，a上的平均变化率为21，则a_.解析：a2a121.解之得a4或a5.又a1，a4.答案：4二、解答题6已知函数f(x)2x21.求函数f(x)在区间2,2.01上的平均变化率解：函数f(x)在区间2,2.01上的平均变化率为8.02.7求函数ysin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小解：在0到之间的平均变化率为；在到之间的平均变化率为.2，函数ysin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，故在0到之间的平均变化率较大8已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)4r2.求：(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率解：根据函数的增量来证明由S(r)4r2，r0，把r表示成表面积S的函数：r(S).(1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的增量S201010(cm2)，气球半径的增量rr(20)r(10)()0.37(cm)所以气球的平均膨胀率为0.037.(2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球表面积的增量S()0.239(cm2)所以气球的平均膨胀率为0.023 9.
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