2018年高中数学第二章数列2.4等比数列学案新人教A版必修5 .doc

2018年高中数学第二章数列2.4等比数列学案新人教A版必修5预习课本P4850，思考并完成以下问题 (1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？(2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)点睛(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q(n2)或q.特别注意，q不可以为零，当q1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列2等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G.点睛(1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项G，即等比中项有两个，且互为相反数(2)当G2ab时，G不一定是a与b的等比中项例如0250，但0,0,5不是等比数列3等比数列的通项公式等比数列an的首项为a1，公比为q(q0)，则通项公式为：ana1qn1.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列(4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项答案：(1)(2)(3)(4)2下列数列为等比数列的是()A2,22,322，B.，Cs1，(s1)2，(s1)3， D0,0,0，解析：选BA、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义3等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为()A3 B4C5 D6解析：选Bn1，n1，即3n1，n13，n4.4已知等比数列an为递增数列，a12，且3(anan2)10an1，则公比q_.解析：设公比为q，则3(ananq2)10anq，即3q210q30，解得q3或q，又因为a12且数列an为等比递增数列，所以q.答案：等比数列的通项公式典例(1)在等比数列an中，a1，q，an，则项数n为()A3B4C5 D6(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析(1)因为ana1qn1，所以n1，即n5，解得n5.(2)由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2.aa10(a1q4)2a1q9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n.答案(1)C(2)2n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算活学活用在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n.解：(1)因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.(2)法一：因为由得q，从而a132.又an1，所以32n11，即26n20，所以n6.法二：因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.等比中项典例(1)在等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项是()A4B4C D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项解析(1)由an2n12n4知，a41，a824，所以a4与a8的等比中项为4.答案：A(2)证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2ac，且a，b，c均不为零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b2)(b2c2)，即abbc是a2b2与b2c2的等比中项(1)由等比中项的定义可知G2abG，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a，G，b成等比数列等价于G2ab(ab0)活学活用1如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9解析：选B因为b2(1)(9)9，且b与首项1同号，所以b3，且a，c必同号所以acb29.2已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.解析：由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q，所以an4n1.答案：4n1等比数列的判定与证明典例在数列an中，若an0，且an12an3(nN*)证明：数列an3是等比数列证明：法一定义法an0，an30.又an12an3，2.数列an3是首项为a13，公比为2的等比数列法二等比中项法an0，an30.又an12an3，an24an9.(an23)(an3)(4an12)(an3)(2an6)2(an13)2.即an3，an13，an23成等比数列，数列an3是等比数列证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：q(q为常数且q0)或q(q为常数且q0，n2)an为等比数列(2)等比中项法：aanan2(an0，nN*)an为等比数列 活学活用(1)已知各项均不为0的数列an中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列(2)已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式证明：(1)由已知，有2a2a1a3，aa2a4，.由得，所以a4.由得a2.将代入，得a.a3，即a3(a3a5)a5(a1a3)化简，得aa1a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列(2)依题意an2(n1)(1)3n，于是bn3n.而12.数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn2n3.层级一学业水平达标12和2的等比中项是()A1B1C1 D2解析：选C设2和2的等比中项为G，则G2(2)(2)1，G1.2在首项a11，公比q2的等比数列an中，当an64时，项数n等于()A4 B5C6 D7解析：选D因为ana1qn1，所以12n164，即2n126，得n16，解得n7.3设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A2 B4C6 D8解析：选Ban(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)或k4.4等比数列an的公比为q，且|q|1，a11，若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9 B10C11 D12解析：选Ca1a2a3a4a5a1a1qa1q2a1q3a1q4aq10q10，ama1qm1qm1，q10qm1，10m1，m11.5等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an等于()A(2)n1 B(2n1)C(2)n D(2)n解析：选A设公比为q，则a1q48a1q，又a10，q0，所以q38，q2，又a5a2，所以a20，a50，从而a10，即a11，故an(2)n1.6等比数列an中，a12，a38，则an_.解析：q2，q24，即q2.当q2时，ana1qn12(2)n1(2)n；当q2时，ana1qn122n12n.答案：(2)n或2n7已知等比数列an的各项均为正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则_.解析：由题设a1，a3,2a2成等差数列可得a12a2a3，即q22q10，所以q1，q232.答案：328已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于_解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq.aaq512，a8.又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，(aq2)2a，2q25q20，q2或q，原来的三个数为4,8,16或16,8,4.4816168428，原来的三个数的和等于28.答案：289在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数解：设前三个数分别为ad，a，ad，则有(ad)a(ad)48，即a16.设后三个数分别为，b，bq，则有bbqb38 000，即b20，这四个数分别为m,16,20，n，m2162012，n25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.10已知递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中项，求an.解：设等比数列an的公比为q.依题意，知2(a32)a2a4，a2a3a43a3428，a38，a2a420，8q20，解得q2或q(舍去)又a12，an2n.层级二应试能力达标1设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为()A.B.C. D1解析：选A原式.2在等比数列an中，已知a1，a53，则a3()A1 B3C1 D3解析：选A由a5a1q43，所以q49，得q23，a3a1q231.3设a12，数列12an是公比为3的等比数列，则a6等于()A607.5 B608C607 D159解析：选C12an(12a1)3n1，12a6535，a6607.4如图给出了一个“三角形数阵”已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， ， ， 记第i行第j列的数为aij(i，jN*)，则a53的值为()A. B.C. D.解析：选C第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51(51).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a532.5若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则an的通项公式是_解析：由an2Sn3得an12Sn13(n2)，两式相减得anan12an(n2)，anan1(n2)，1(n2)故an是公比为1的等比数列，令n1得a12a13，a13，故an3(1)n1.答案：an3(1)n16在等差数列an中，a12，a36，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_解析：设等差数列an的公差为d，所求的数为m，则d2，a48，a510，a1m，a4m，a5m成等比数列，(a4m)2(a1m)(a5m)，即(8m)2(2m)(10m)，解得m11.答案：117已知数列an的前n项和Sn2an，求证：数列an是等比数列证明：Sn2an，Sn12an1.an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1.an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，.数列an是等比数列8已知数列an是各项为正数的等比数列，且a29，a481.(1)求数列an的通项公式an；(2)若bnlog3an，求证：数列bn是等差数列解：(1)求数列an的公比为q，a29，a481.则q29，又an0，q0，q3，故通项公式ana2qn293n23n，nN*.(2)证明：由(1) 知an3n，bnlog3anlog33nn，bn1bn(n1)n1(常数)，nN*，故数列bn是一个公差等于1的等差数列第二课时等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么？等比数列的性质(1)若数列an，bn是项数相同的等比数列，则anbn也是等比数列特别地，若an是等比数列，c是不等于0的常数，则can也是等比数列(2)在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq.(3)数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积(4)在等比数列an中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk1.(5)当m，n，p(m，n，pN*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q1时，an为递增数列()(3)当q1时，an为常数列()解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确(2)错误，当q1，a10时，an才为递增数列(3)正确，当q1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列答案：(1)(2)(3)2由公比为q的等比数列a1，a2，依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，是()A等差数列B以q为公比的等比数列C以q2为公比的等比数列D以2q为公比的等比数列解析：选C因为q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列3已知等比数列an中，a47，a621，则a8的值为()A35B63C21 D21解析：选Ban成等比数列a4，a6，a8成等比数列aa4a8，即a863.4在等比数列an中，各项都是正数，a6a10a3a541，a4a84，则a4a8_.解析：a6a10a，a3a5a，aa41，又a4a84，(a4a8)2aa2a4a841849，数列各项都是正数，a4a87.答案：7等比数列的性质典例(1)在1与100之间插入n个正数，使这n2个数成等比数列，则插入的n个数的积为()A10nBn10C100n Dn100(2)在等比数列an中，a316，a1a2a3a10265，则a7等于_解析(1)设这n2个数为a1，a2，an1，an2，则a2a3an1(a1an2)(100)10n.(2)因为a1a2a3a10(a3a8)5265，所以a3a8213，又因为a31624，所以a829.因为a8a3q5，所以q2.所以a7256.答案(1)A(2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用活学活用1已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5C5 D7解析：选D因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a78，联立解得或所以q3或q32，故a1a10a7q37.2已知等比数列an的公比为正数，且4a2a8a，a21，则a6()A. B.C. D.解析：选B由4a2a8a，得4aa，q，a6a2q4.灵活设元求解等比数列问题典例(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数解析(1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a1，aq1，aq24，aq313成等差数列即整理得解得a3，q2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.答案45(2)解：法一：设前三个数为，a，aq，则aaq216，所以a3216.所以a6.因此前三个数为，6,6q.由题意知第4个数为12q6.所以66q12q612，解得q.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4d,4,4d，则第一个数为(4d)2，由题意知(4d)2(4d)4216，解得4d6.所以d2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为：，a，aq，aq2(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：，aq，aq3，aq5(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.活学活用在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A4或 B4或C4 D17解析：选B设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.由a，20成等差数列得2a20.a2a200，解得a4或a5.当a4时，插入的两个数的和为a4.当a5时，插入的两个数的和为a.等比数列的实际应用问题典例某工厂xx1月的生产总值为a万元，计划从xx2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到xx8月底该厂的生产总值为多少万元？解设从xx1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an1ananm%，1m%.数列an是首项a1a，公比q1m%的等比数列ana(1m%)n1.xx8月底该厂的生产总值为a20a(1m%)201a(1m%)19(万元)数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解活学活用如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；，依此类推设BAa1 ，AA1a2 , A1A2a3 ， A5A6a7 ，则 a7_.解析：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan2n，故a726.答案：层级一学业水平达标1等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24B0C12 D24解析：选A由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24.2对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：选D设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选D.3在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于()A. B.C. D.解析：选D设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1an知0q1，由a2a86，得a6.a5，a4a6q5.解得q，2.4已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B.或C. D以上都不对解析：选B设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acd1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.解析：由题意得a4，a5，q3.a6a7(a4a5)q23218.答案：188画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于_平方厘米解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列an(1n10，nN*)，则第10个正方形的面积Sa22292112 048.答案：2 0489在由实数组成的等比数列an中，a3a7a1128，a2a7a12512，求q.解：法一：由条件得由得a512，即a78.将其代入得2q85q420.解得q4或q42，即q或q.法二：a3a11a2a12a，a512，即a78.于是有即a3和a11是方程x220x640的两根，解此方程得x4或x16.因此或又a11a3q8，q4或q .10在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a736，a2a42a2a6a4a6100，求数列an的通项公式解：a1a5a，a3a7a，由题意，得a2a3a5a36，同理得a2a3a5a100，即解得或分别解得或an2n2或an26n.层级二应试能力达标1在等比数列an中，Tn表示前n项的积，若T51，则()Aa11Ba31Ca41 Da51解析：选B由题意，可得a1a2a3a4a51，即(a1a5)(a2a4)a31，又a1a5a2a4a，所以a1，得a31.2已知等比数列an中，a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9等于()A2 B4C8 D16解析：选C等比数列an中，a3a11a4a7，解得a74，等差数列bn中，b5b92b72a78.3在各项均为正数的等比数列bn中，若b7b83，则log3b1log3b2log3b14等于()A5 B6C7 D8解析：选Clog3b1log3b2log3b14log3 (b1b2b14)log3 (b7b8)77log337.4设各项为正数的等比数列an中，公比q2，且a1a2a3a30230，则a3a6a9a30()A230 B210C220 D215解析：选Ca1a2a3a30230，aq12329aq230，a12，a3a6a9a30a(q3)(222)10(23)45220.5已知an为公比q1的等比数列，若a2 015和a2 016是方程4x28x30的两根，则a2 017a2 018的值是_解析：设等比数列的公比为q.因为a2 015和a2 016是方程4x28x30的两个根，所以a2 015a2 0162，a2 015a2 016，所以a2 015(1q)2 ，a2 015a2 015q，故由2得，.又因为q1，解得q3，所以a2 017a2 018a2 015q2a2 015q3.a2 015(1q)q223218.答案：186已知7，a1，a2，1四个实数成等差数列，4，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则_.解析：由题意，知a2a12，b(4)(1)4.又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第一项同号，即b22，所以1.答案：17已知数列an为等差数列，公差d0，由an中的部分项组成的数列ab1，ab2，abn，为等比数列，其中b11，b25，b317.求数列bn的通项公式解：依题意aa1a17，即(a14d)2a1(a116d)，所以a1d2d2，因为d0，所以a12d，数列abn的公比q3，所以abna13n1，又abna1(bn1)da1，由得a13n1a1.因为a12d0，所以bn23n11.8已知数列an满足a11，a22，且an12an3an1(n2，nN*) (1)设bnan1an(nN*)，求证bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：由已知得an1an3(anan1)(n2，nN*)，则bn13bn，又b13，则bn是以3为首项，3为公比的等比数列(2)由an1an3n，得.设cn，则cn1cn，可得cn1，又c1，故cnn1，则an.