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专题17 恒成立问题数形结合法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法： 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）； 数形结合(图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.1、函数的不等关系与图象特征：（1）若，均有的图象始终在的下方（2）若，均有的图象始终在的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题】例1【2018届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的，存在实数，使 恒成立，则实数的最大值为_【答案】9【解析】若对任意的， 恒成立，可得：恒成立，令，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：(1)当时，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，原问题等价于存在实数满足：，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；当时，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数的最大值为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.例2.【2018届一轮训练】已知log (xy4)4xm3恒成立，则x的取值范围是_【答案】(，1)(3，)【解析】不等式可化为m(x1)x24x30在0m4时恒成立令f(m)m(x1)x24x3.结合二次函数的图象得即x3.故答案为：(，1)(3，)例5.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_【答案】可得：，综上可得：.【名师点睛】（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的）.（3）处理好边界值是否能够取到的问题.例6.若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图象，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图象进一步可得只需时，即，所以例7. 已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_【答案】m+1m【名师点睛】本题也可以用最值法求解：若，则，而是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以，再解出的范围即可.例8.已知函数若直线与函数的图象只有一个交点,则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】作出函数f(x)的图象如图,例9.已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】是奇函数且在时是分段函数（以为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面的图象比较容易作出，另一方面可看作是的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找满足的条件.先将写为分段函数形式：，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出负半轴图象.恒成立，意味着的图象向右平移一个单位后，其图象恒在的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移个长度，所以可得： 答案：.例10【2018届河南省高三4月考试】已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.试题解析：（1），在处取到极值，即，.经检验，时，在处取到极小值.（2），令，当时，在上单调递减.又，时，不满足在上恒成立.时，单调递增，.又，故不满足题意.当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，在上单调递减.又，时，故不满足题意.综上所述，.【精选精练】1【2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C2.若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有C选项符合题意.本题选择C选项.3已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】二次函数的对称轴为；该函数在上是增函数；，实数的取值范围是，故选B.4. 若,不等式恒成立,则的取值范围是_【答案】或【解析】思路：本题中已知的范围求的范围，故构造函数时可看作关于的函数，恒成立不等式变形为 ,设,即关于的一次函数，由图象可得：无论直线方向如何，若要，只需在端点处函数值均大于0即可，即,解得：或答案：或【名师点睛】（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.（2）线段的图象特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧.（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.5.设，若时均有，则_【答案】答案： 6.【2018届二轮训练】当实数x，y满足时，axy4恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】要使平面区域在直线的下方，则只要在直线上或直线下方即可，即，得，综上，所以实数的取值范围是，故答案为.7【2018届二轮训练】已知函数f1(x)|x1|，f2(x)x1，g(x)，若a，b1,5，且当x1，x2a，b时， 0恒成立，则ba的最大值为_【答案】5【解析】 且 恒成立， 在区间上单调第增，函数 当 时， ，单调减；当 单调增；当时， ，单调递增 的最大值为故答案为5.8【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是_.【答案】9【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当，当，故.故答案为：10当时，不等式恒成立，则实数的最大值是_【答案】3【解析】令，则由题意可知，当且仅当，即时，等号成立，从而故实数的最大值是故答案为：3.另法：的图象即函数的图象向右、向上均平移1单位得到，结合图象可得解.11【2018届宁夏银川高三4月模拟】已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：当时，；函数有个零点；若关于的方程有解，则实数的取值范围是；对恒成立，其中，正确命题的序号是_【答案】若方程有解，则，且对恒成立，故错误，正确.故答案为.12函数的定义域为（为实数）.（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，函数在上单调减，时，函数取得最小值，即.
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