2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(188).doc

2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(188)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数.设为任意锐角三角形的三个内角.则.2. 计算：.3. 设，且.则的最小值为.4. 已知四面体的四个面的面积分别为，顶点到面的距离为.则.5. 已知向量为平面内两个互相垂直的单位向量，且.则的最大值为.6. 若曲线的内接的重心为其焦点.则.7. 已知数列满足.则数列的通项公式为.8. 集合，对于正整数，集合的任一元子集中必有一个数为另外个数乘积的约数.则的最小可能值为.二、解答题（共56分）9.（16分）设实数满足证明：.10.（20分）设，且.证明：.11.（20分）设为椭圆长轴的两顶点，为椭圆上任意一点，过作椭圆的切线，与过点的切线分别交于点分别为左、右焦点.证明：.一、（40分）在中，设，垂足为分别为的内心，与交于点，记的面积为.证明：.二、（40分）设.证明：.三、（50分）求最小的实数，使得对任意正整数，均有，其中，表示正整数的最大公约数，表示不超过实数的最大整数.4、 (50分)设为一个正整数，三维空间内的点集满足下述性质：（1） 空间内不存在个平面，使得点集中的每个点至少在这个平面中的一个平面上；（2） 对于每个点，均存在个平面，使得中的每个点均至少在这个平面中的一个平面上.求点集中点的个数的最小值与最大值.