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专题22 简单线性规划一、 考纲要求： 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决二、概念掌握及解题上的注意点： 1. 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式.若满足不等式，则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)当不等式中不等号为或时，边界为实线，不等号为或时，边界应画为虚线，若直线不过原点，特殊点常取原点.2.求目标函数最值的解题步骤(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.3.常见的三类目标函数(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.三、高考考题题例分析： 例1.（2018课标卷I） 若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 【答案】6例2.（2018课标卷II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为【答案】9【解析】：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（5，4），目标函数有最大值，为z=9故答案为：9例3.（2018北京卷）若x，y满足x+1y2x，则2yx的最小值是【答案】3例4.（2018天津卷）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A6B19C21D45【答案】C例5.（2018浙江卷）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是，最大值是【答案】最小值-2，最大值8例6.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点 处取得最小值 ，故选A。例7.(2017北京卷)若x，y满足 则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】：如图，画出可行域， 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.例8.(2017课标I)设x，y满足约束条件，则的最小值为 .【答案】【解析】：不等式组表示的可行域如图所示，简单线性规划练习一、选择题1不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()【答案】C【解析】：(x2y1)(xy3)0或画图可知选C2在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为 () A1B2C4D8【答案】A3.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是 ()ABC2D2【答案】B【解析】：作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(2,0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为2，故选B4.若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3B2 C1D0【答案】C【解析】： 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5个整点，故选C5已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a ()A3B2C2D36.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 ()ABCD【答案】B【解析】：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为xy10和xy10，由两平行线间的距离公式得距离为，故选B7.若变量x，y满足约束条件则的最大值为 ()A1 B3 C D5【答案】C8.已知z2xy，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是 () A B C4 D【答案】B【解析】：作出不等式组对应的平面区域如图：由z2xy得y2xz，平移直线y2x，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线的纵截距最大，此时z最大，9.若变量x，y满足则x2y2的最大值是 ()A4B9C10D12【答案】C【解析】：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故选C10.若x，y满足，且z3xy的最大值为2，则实数m的值为 ()ABC1D2【答案】D【解析】：若z3xy的最大值为2，则此时目标函数为y3x2，直线y3x2与3x2y20和xy1分别交于A(2,4)，B，mxy0经过其中一点，所以m2或m，当m时，经检验不符合题意，故m2，选D11某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型客车不多于A型客车7辆则租金最少为 ()A31 200元B36 000元C36 800元D38 400元【答案】C【解析】：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则约束条件为目标函数为z1 600x2 400y.12设zxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为()A3B6C3D6【答案】B【解析】：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示：由得A(k，k)，易知目标函数zxy在点A处取最大值，则12kk，故k6，所以B(12,6)，又目标函数zxy在点B处取最小值，z的最小值为6，故选B.二、填空题13若点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是_【答案】(1，)【解析】：点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，2m350，即m1.14已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m_. 【答案】515已知实数x，y满足则z的取值范围为_【答案】【解析】：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率因点D(2,3)与B(8,1)连线的斜率为且C的坐标为(2，2)，故由图知z的取值范围为16若变量x，y满足则2xy的取值范围为_. 【答案】2,2 三、解答题17已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部) (1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围【答案】(1) (2) (18,14)故a的取值范围是(18,14)18若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围. 【答案】(1) 最大值为1，最小值为2. (2) (4,2)【解析】：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，过A(3,4)取最小值2，过C(1,0)取最大值1，所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)19电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【答案】(2) 每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值就最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得则点M的坐标为(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多
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