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2.1.1 合情推理课时作业A组基础巩固1下列推理是归纳推理的是()AA，B为定点，动点P满足|PA|PB|2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.答案：B2数列an：2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28 B32C33 D27解析：因为5231,115632,2011933，猜测x2034,47x35，推知x32.故应选B.答案：B3某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为3657余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色答案：A4观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x) ()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选D.答案：D5n个连续自然数按规律排列如下表：01234567891011根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为()A BC D解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由2,3,4可知从2 010到2 012为，故应选C.答案：C6半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可以用语言叙述为：_.解析：半径为R的球的体积V(R)R3，表面积S(R)4R2，则(R3)4R2.答案：(R3)4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数7观察下列等式：121；12223；1222326；1222324210；照此规律，第n个等式可为_解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，n，指数都是2，符号成正负交替出现，可以用(1)n1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边可以表示为(1)n1，第n个式子可为12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)答案：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)8设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8, 16，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n1，故fn(x).答案：9证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论，2cos，2cos ，2cos ，证明：2cos2，2cos22 ，2cos22 观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2cos10点P在圆C：x2y21上，经过点P的圆的切线方程为xy1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2xy1与圆相交，点R在圆C的内部直线xy1与圆相离类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2y2r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？解析：点P(a，b)在C：x2y2r2上时，直线axbyr2与C相切；点P在C内时，直线axbyr2与C相离；点P在C外部时，直线axbyr2与C相交容易证明此结论是正确的B组能力提升1把1,3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A27 B28C29 D30解析：观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1234n个，第七个三角形数为28.答案：B2设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A. B.C. D.解析：将ABC的三条边长a、b、c类比到四面体PABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V.VS1rS2rS3rS4r，r.答案：C3(2014高考陕西卷)观察分析下列中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是_解析：三棱柱中5692；五棱锥中66102；立方体中68122，由此归纳可得FVE2.答案：FVE24已知经过计算和验证有下列正确的不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式_解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，nR，则当mn20时，有2.答案：若m，nR，则当mn20时，有25在ABC中，不等式成立，在四边形ABCD中，不等式成立，在五边形ABCDE中，不等式成立，猜想在n边形A1A2An中，有怎样的不等式成立？解析：根据已知特殊的数值：、，总结归纳出一般性的规律：(n3)在n边形A1A2An中：(n3)6.如图，设有双曲线1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上(1)若F1MF290，求F1MF2的面积(2)若F1MF260，F1MF2的面积是多少？若F1MF2120，F1MF2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随F1MF2的变化，F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论解析：(1)由双曲线方程知a2，b3，c，设|MF1|r1，|MF2|r2(r1r2)由双曲线定义，有r1r22a4，两边平方得rr2r1r216，即|F1F2|24SF1MF216，也即52164SF1MF2，求得SF1MF29.(2)若F1MF260，在MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2rr2r1r2cos 60，|F1F2|2(r1r2)2r1r2，所以r1r236.求得SF1MF2r1r2sin 609.同理可求得若F1MF2120，SF1MF23.(3)由以上结果猜想，随着F1MF2的增大，F1MF2的面积将减小证明如下：令F1MF2，则SF1MF2r1r2sin .由双曲线定义及余弦定理，有得r1r2，所以SF1MF2，因为0，0，在(0，)内，tan 是增函数因此当增大时，SF1MF2将减小.
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