2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析) (I).doc

xx-2019学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析) (I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A，则下列关系错误的是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】集合与集合的关系不能是，得出答案.【详解】A、B、C显然正确，空集与集合的关系不能是，D错误故选D.【点睛】本题考查了元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题.2.下列命题中，真命题是（ ）A. B. C. 的充要条件是 D. 是的充分条件【答案】D【解析】A：根据指数函数的性质可知ex0 恒成立，所以A错误B：当x=1 时，2112121 ，所以B错误C：若a=b=0 时，满足a+b=0 ，但ab=1， 不成立，所以C错误D：a1，b1， 则ab1 ，由充分必要条件的定义，a1，b1，是 ab1的充分条件，则D正确故选D【此处有视频，请去附件查看】3.若函数f(x)=x+1x2(x2)，在x=a处取最小值， 则a=( A. 1+2 B. 1+3 C. 3 D. 4【答案】C【解析】当x2时,x-20,f(x)=x-2+1x2+22(x2)1(x2)+2=4,当且仅当x-2=1x2(x2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.故选C.【此处有视频，请去附件查看】4.设函数y=x3与y=(12)x2的图象的交点为(x0,y0)，则x0所在的区间是（ ）A. (0,1) B. (1,2)C. (2,3) D. (3,4)【答案】B【解析】试题分析：因为根据题意可知,当x=1时，则y=x3=1y=(12)x2=(12)0=1，并且前者是递增函数，后者是递减函数那么可知必然交点在该区间取得，故选B.考点：本题主要考查了函数图像与图像的交点问题的运用，确定零点问题。点评：解决该试题的关键是根据函数的图像与图像的位置关系来判定交点的位置，也可以通过求解各个区间的左右端点值，是否是满足图像出现交的情况即可。5.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3A. 4+23 B. 4+32 C. 6+23 D. 6+32【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=223+12123=（6+1.5）cm3故答案为：6+1.5点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可6.如果直线ax+3y+1=0与直线2x+2y3=0互相垂直，那么的值等于()A. 3 B. 13 C. 3 D. 13【答案】A【解析】【分析】据两直线垂直，斜率互为负倒数，求得a.【详解】直线ax+3y+1=0与直线2x+2y-3=0垂直，斜率之积等于1，a-32-2=-1，a-3，故选A.【点睛】本题考查了两直线的垂直位置关系，属于基础题.两直线平行，斜率相等，截距不相等；两直线垂直（斜率都存在），斜率互为负倒数，或是一个斜率为0，另一个斜率不存在.7.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。程序框图如图所示，若输入a,n,的值分别为8，2，0.5，（运算结果精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）A. 2.81 B. 2.82 C. 2.83 D. 2.84【答案】D【解析】由算法流程图中提供的算法程序可以看出：当输入a=8,n=2,=0.5时，m=an=4,n=m+n2=4+22=3,|mn|=10.5，程序继续进行，此时m=an=83,n=83+32=8+96=176,|mn|=160,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. (1,2 B. (1,2) C. 2,+) D. (2,+)【答案】C【解析】试题分析：已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，ba3，离心率e2=c2a2a2+b2a24，e2，故选C考点：双曲线的简单性质12.已知P为曲线(x+3)2+y2+(x3)2+y2=10上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM |PN |的最小值为()A. 5 B. 7 C. 13 D. 15【答案】B【解析】【分析】根据题意，点P的轨迹方程式是椭圆，而且椭圆的焦点恰好是圆M、N的圆心，再根据椭圆的定义与圆的有关性质得出结果.【详解】根据椭圆的定义知曲线(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=10是以（3,0）和（-3,0）为焦点，2a=10的椭圆，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x-3)2y24，所以圆心M（-3,0）、N（3,0），半径分别为1和2，易知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|-1-27.故选B.【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质以及和圆有关的综合知识，注意认真审题，仔细解答和公式的合理运用，属于基础题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为3，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量在b方向上的投影为_【答案】52【解析】【分析】根据向量在向量b上的投影为abb，然后分别算出ab和b ，代入求得结果.【详解】由于a=e1+3e2，b=2e1，所以|b|=2，ab=2e12+6e1e2=2+612=5，所以向量在b方向上的投影为|a|cos=ab|b|=52.故答案为52【点睛】本题考查了向量的基本运算和向量数量积的几何意义，熟练运用公式是解题的关键，属于基础题.14.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2+2+2+ 222中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x. 这可以通过方程2+x=x确定x2，则1+11+11+=_.【答案】1+52【解析】【分析】根据题目已知的例子，令1+11+11+=x,即1+1x=x，求得结果.【详解】由题意，可令1+11+11+=x，即1+1x=x，即x2-x-10，解得x=1+52，故1+11+11+= 1+52.【点睛】本题主要考查的是类比推理，读懂题目中整体代换的方法，理解其解答过程是解题的关键，属于基础题.15.如果直线l:x+yb=0与曲线C:y=1x2有两个公共点, 那么b的取值范围是_【答案】1,2【解析】【分析】曲线C表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线l与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线l与圆相切时；一是直线l过（1，0）时，分别求出b的值，即可确定出b的范围【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示：当直线l与圆相切时，圆心（0，0）到y=x+b的距离d=r=1，即|b|2=1，解得：b=2或b=2（舍去）当直线l过（1，0）时，将（1，0）代入y=x+b中，求得：b=1，则直线l与曲线C有两个公共点时b的范围为1b2，故答案为：1,2.【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.16.已知函数f(x)，任意x1，x22,2(x1x2)，给出下列结论：f (x)f (x)；f (x)f (x)；f (0)1；f(x1)f(x2)x1x20；fx1+x22fx12+fx22.当f (x)tanx时，正确结论的序号为_【答案】【解析】【分析】根据正切函数的图像与性质，判断出正误即可.【详解】由于f(x)tanx的周期为，故正确；函数f(x)tanx为奇函数，故不正确；f(0)tan00，故不正确；表明函数为增函数，而f(x)tanx为区间-2,2上的增函数，故正确；由函数f(x)tanx的图象可知，函数在区间-2,0上有fx1+x22fx12+fx22，在区间0,2上有fx1+x22fx12+fx22，故不正确故答案为【点睛】本题主要考查了正切函数y=tanx的图像和性质，熟练掌握正切函数的相关知识点是解题的关键；还有就是凹凸函数，属于基础题.凸函数f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2 ；凹函数f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n，(1)设bn=an2n1，证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和.【答案】（1）略（2）Sn=n2n2n+1【解析】试题分析：（1）题中条件bn=an2n1，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式an+1=2an+2n转化为的递推公式：an+12n=an2n1+1，从而bn+1=bn+1，进而得证；（2）由（1）可得，an=n2n1，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：，得：，-得.试题解析：（1）an+1=2an+2n，an+12n=an2n1+1，又bn=an2n1，bn+1=bn+1，则bn是为首项为公差的等差数列；由（1）得bn=1+(n1)1=n，an=n2n1，得：，-得.考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.18.如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB/CD/EF，ABADCD=DA=AF=FE=2，AB=4（1）求证：DF/平面BCE；（2）求二面角CBFA的余弦值；（3）线段CE上是否存在点G，使得AG平面BCF？不需说明理由【答案】（1）详见解析（2）55（3）不存在【解析】【分析】（1）根据平行四边形求得DF/CE，再利用线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面BCF的法向量和平面ABF的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；（3）求得平面ACE的法向量m，证明mn0得出平面ACE与平面BCF不可能垂直，得出不存在点G.【详解】解：（1）因为CD/EF，且CD=EF，所以四边形CDFE为平行四边形，所以DF/CE因为DF平面BCE，所以DF/平面BCE（2）在平面ABEF内，过A作AZAB，因为平面ABCD 平面ABEF，平面ABEF平面ABEF=AB，AZ平面ABEF，所以AZ平面ABCD，所以如图建立空间直角坐标系A-xyz由题意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3,3)，F(0,1,3)所以BC=(2,-2,0)，BF=(0,-3,3)设平面BCF的法向量为n=(x,y,z) 则nBC=0nBF=0 即2x-2y=0,-3y+3z=0.令y=1，则x=1，z=3，所以平面ABF的一个法向量为v=(1,1,0) 则cos=nvnv=55 所以二面角C-BF-A的余弦值55（3）线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF，理由如下：解法一：设平面ACE的法向量为m =(x1,y1,z1)，则mAC=0mAE=0 即2x1+2y1=0,3y1+3z1=0.令y1=1，则x1=-1，z1=-3，所以m =(-1,1,-3)因为mn0 ，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF解法二：线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG平面BCF，设CG=CE，其中0,1设G(x2,y2,z2)，则有(x2-2,y2-2,z2)=(-2,3)，所以x2=2-2，y2=2+，z2=3，从而G(2-2,2+,3)，所以AG=(2-2,2+,3)因为AG平面BCF，所以AG/n所以有2-21=2+1=33，因为上述方程组无解，所以假设不成立所以线段CE上不存在点G，使得AG平面BCF【点睛】本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题.19. 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100(1) 求图中a的值；(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50，90)之外的人数.分数段50，60)60，70)70，80)80，90)xy11213445【答案】（）a=0.005（）73（）有10人【解析】试题分析：（1）每一个小矩形的面积是该组的频率，频率和等于1，列式求；（2）用每个小矩形的底边中点乘以该组的频率之后就是平均分；（3）首先计算语文成绩分别在四个小组的人数，对比x:y可求数学成绩的人数，这样就可得到所有数学成绩落在50,90的人数，再用100减，可得结果. 试题解析：（1）由2a+0.02+0.03+0.0410=1,解得a=0.005. （2）0.0555+0.465+0.375+0.285+0.0595=73. （3）这100位学生语文成绩在50,60、60,70、70,80、80,90的分别有5人、40人、30人、20人,按照表中所给比例,数学成绩在50,60、60,70、70,80、80,90的分别有5人、20人、40人、25人，共90人，所以数学成绩在50,90之外的人数有10人. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，频率分布直方图的高不表示频率，而是面积表示频率，样本容量频率=频数，每一组的频率和等于1，以及根据频率分布直方图求众数，中位数和平均数，众数是最高组的底边中点，中位数的两边的频率都是0.5，平均数是每一组的底边中点乘以该组的频率的和，这是处理这类问题使用到的知识.20.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M，都有f(x)M成立，则称f(x)是D上的有下界函数，其中M称为函数f(x)的一个下界已知函数f(x)=exa+aex(a0)（1）若函数f(x)为偶函数，求a的值；（2）求函数f(x)在lna,+)上所有下界构成的集合【答案】（1）1（2） ,2【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义，求得a的值；（2）利用函数单调性的定义，判断出函数f(x)在lna,+)的单调性，求得最小值，最后得出结果.【详解】解：（1）函数f(x)=exa+aex(a0)是R上的偶函数，f(-x)=f(x)，即1aex-e-x=a(1e-x-1ex)=aex-e-x在R恒成立，1a=a，解得a=1（a0），（2）在lna,+)上任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=1a(ex1-ex2)-aex1-ex2ex1ex2=(ex1-ex2)ex1+x2-a2aex1+x2y=ex是增函数，lnax1x2，ex1-ex22lna2，ex1+x2elna2=a2，ex1+x2-a20，又aex1+x20，f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)，准线方程为y=-1，则p2，故抛物线的方程为x24y.(2)证明：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)过点A的切线方程为x1x2y2y1，过点B的切线方程为x2x2y2y2.两切线都过点M，所以有x1x0=2y0+2y1x2x0=2y0+2y2故过点M的直线为x0x2y02y.又因为直线l过点(1，2)，所以有x02y04.所以点M在定直线x2y4上(3)解：只需要将定直线x2y4平移与抛物线相切，求出切点坐标由x24y，得y14x2.由y12x12，可得x1，代入x24y，得y14，切点为(1，14).所以所求距离d=1-214-412+(-2)2=7510.【点睛】本题目主要考查了抛物线的性质和切线的问题，解题关键是抛物线的切线的求法，属于中档题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin(+4)=22.（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值以及此时P的直角坐标.【答案】（1）C1：x23+y2=1，C2：x+y4=0；（2）PQmin=2，此时P(32,12).【解析】试题分析：（1）C1的普通方程为x23+y2=1，C2的直角坐标方程为x+y4=0；（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin) P到C2的距离d()=|3cos+sin4|2=2|sin(+3)2|当且仅当=2k+6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32,12).试题解析： （1）C1的普通方程为x23+y2=1，C2的直角坐标方程为x+y4=0.（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()=|3cos+sin4|2=2|sin(+3)2|.当且仅当=2k+6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32,12).考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线C的普通方程F(x,y)=0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数的变化范围【此处有视频，请去附件查看】