特征线理论及应用.ppt

第二章特征线理论及应用 气体动力学中 有大量问题是用双曲型偏微分方程来描述的 很难得到解析结果 在这种情况下 有两种数值解法 1 特征线数值解法 求解域用特征线网格进行离散 求各网格结点上的解 气体动力学中 有大量流动问题是用双曲型偏微分方程来描述的 宜于用特征线方法求解 2 有限差分法 求解域的有限差分网格一般是正交的 根据由偏微分方程构造的差分格式来求各网格结点上的解 2 1特征线理论 特征线的数学定义 考虑一个一般的一阶双曲型偏微分方程 x y是两个自变量 u x y 是因变量 系数A1 A2及非齐次项F1可以是x y u的函数 1 将偏微分方程改写为 设未知函数u x y 连续 u的一阶导数可以写作 注 u的一阶导数可以不连续 偏微分方程的特征线定义为 xy平面内具有斜率为的曲线 2 3 沿着特征线 或 偏微分方程可化简为 代入式 4 得到偏微分方程的相容方程 是平面上这样一族曲线 沿着此族中任一曲线 a 可以把待求物理量的一阶偏微分控制方程变换成等价的常微分控制方程 b 称为原偏微分方程或偏微分方程组的相容方程 特征线的第一个数学意义 a b 特征线的第二个数学意义 上两式表明 沿着特征线 分母和分子均为零 即沿着特征线 表明 1 沿特征线因变量的一阶导数具有不定值 可以是不连续的 在这种情况下 特征线是弱间断 第一类间断线 2 在气体动力学中 特征线可以是弱扰动波传播的迹线 或者说弱扰动传播的迹线就是特征线 因此 因变量的一阶导数只允许有弱间断 如果在物理平面上有激波出现 在强间断面上便无法建立因变量的全微分式 也就不能用特征线方法求解 例 一阶偏微分方程 的初始条件是 2 沿此特征线的相容方程 3 u 2 4 的值 用特征线法确定 1 通过点 2 4 的特征线 解 1 对照一般形式的双曲型偏微分方程 该方程对应的系数 A1 1 A2 2x F1 3x2 则特征线方程为 积分得 为确定过点 2 4 的特征线 将x 2 y 4 代入上式得 所以 所求的特征线方程是 对上式积分 得 2 偏微分方程的相容方程为 如何确定C2 初始条件u 0 y 5y 10 及特征线方程 u 0 0 10 因此相容方程为 2 2一维等熵流动的特征线数值解法 基本方程与黎曼不变量 连续方程 动量方程 以一维等直截面管为例 基本方程 等熵流动中只有一个状态参量独立 将基本方程中的用代替 得 基本方程可化为 定义 则 基本方程化为以v G为新的未知函数的偏微分方程 基本方程 偏微分方程 特征线 相容方程 在x t平面上 把dx dt v c曲线称为偏微分方程的特征线 C C x t C 表示第一族特征线 C 表示第二族特征线 解相容方程 对多方气体 其相容方程的解为 由 声速 沿着特征线 沿着特征线 结论 特征线的基本性质 1 一维非定常流动中 平面x t上任一点 都有两条不同族的特征线 沿各特征线有各自不同的黎曼不变量 2 特征线上参量v c p 的一阶导数可以不连续 但这些参量本身是连续的 称因变量的一阶导数不连续的点叫做弱间断 如果初始某一点有弱间断 那么这个弱间断必定会沿着过该点的特征线向外传播 3 两个相邻的 不同类型流动区域的分界线 必定是特征线 三类流态中的特征线 定常均匀流动 相容关系描述的状态特征线 特征线 不代表波的传播迹线 v c0 c c0 简单波流动 特征线 相容关系描述的状态特征线 活塞运动迹线 复合波流动 特征线 相容关系描述的状态特征线 x t c c1 v c1 C C 7 6 5 2 3 4 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 依赖区和影响区 由于沿着两族特征线 分别有 可以把J 和J 看作是两个新的函数 则 利用J 和J 表示的特征线方程为 第I族特征线斜率仅由J 决定 第II族特征线斜率仅由J 决定 x t D A B D点的依赖区 M C C C C 在平面运动中 沿着特征线黎曼不变量保持不变 这一重要性质清楚地揭示出流体动力学中的一些依赖关系 设t 0时各量沿x轴的分布为v0 x c0 x 于是可知黎曼不变量的相应分布为 则 x t 平面上任意一点D x t 上的状态 将直接由x轴上点A xA 0 B xB 0 两点上的状态决定 所以 点所处的状态将完全由且只由线段AB上的值决定 线段AB就称为点D的依赖区 同样 能够受到AB线段间某点M的初始值影响的区域 是由发自M点的与发自M点的所包围的区域 而这个区域之外的地方 都不受M点的影响 这个区域称为M点的影响区 P Q 例 已知初始时刻v x 0 c x 0 求D点的v x t c x t C C 解 在D x3 t 点 有 根据 得 由 2 3两个偏微分方程的特征线法 考虑下面两个偏微分方程组成的方程组 x y是自变量 u x y 和v x y 是两个因变量 系数A B及非齐次项F可以是x y u和v的函数 方程组是准线性的 以上两个方程进行线性组合 假设待求函数u x y 和v x y 在x y平面上是连续的 则连续函数的全微分为 上式作对比 可以发现 若存在一条斜率为下式的平面曲线 沿着该曲线 偏微分方程就化为全微分方程 1 特征线方程 式可化为 为使得关于 1 2的方程组有非零解 系数行列式为零 即 化简行列式得 其中 对应于椭圆型方程 没有实数解 对应于抛物型方程 过每一点有一条特征线 对应于双曲型方程 过每一点有两条特征线 物理特征线方程 对于一个一阶的偏微分方程总是可以用特征线法求解 但是对于两个一阶的偏微分方程组来说 只有双曲型方程才能利用两条特征线求出两个因变量的数值解 2 相容方程 由 解出 代入全微分方程 求得相容方程 2 4初值 Cauchy 问题 两个偏微分方程的特征线数值解法 p xp yp C C F G MN是物理平面上一条不是特征线的曲线 沿着该线各点的x y和u v都是已知的 求此曲线邻域内的解 1 先确定F点的位置 由C 和C 的特征线方程 求得F点的位置 2 求F点处的因变量值 上式中包含的 3 由F点处的因变量值 将代入特征线方程 重新计算特征线方程中的系数 重复1 2 过程 重新计算过M点的C 和过N点的C 两特征线的坐标 反复迭代 一直计算到满足精度为止 上述过程重复进行 从而得到一条新的初值线 再沿着新初值线重复下一轮运算过程 一直可以计算到初值线的AB与K包围的区域 A N y x C C F G M B K G H 当已知函数的初值线 则可以沿着x y平面上M点的特征线的方向 用常微分方程组求解u v两个曲面的函数值 而不是沿任意方向用偏微分方程组求解u v两个曲面 由于在每条特征线上各有自己的相容性方程 而每个相容性方程中又有du dv两个函数的微分 所以单个相容性方程无法求解 但任意点p xp yp 上有两条特征线到达 其上的函数全微分du du dv dv 虽然沿着不同的特征线发展 其终值up vp却是同一个 因此经过P点的两条特征线上的各一个相容方程可以联立求解 总结 A M N A点的依赖区 B B点的影响区 x y y x 初值线 初值线 D 平面二维的依赖区和影响区 1 扰动 当流场中的一个区域 由于物体运动 物面转折或炸药爆炸等原因使气流参数发生变化 破坏了原来的平衡状态时 即为气体受到了扰动 2 波 气体的扰动都是以波的形式向流场各处传播的 在超声速流场中 在某处使气体膨胀或者压缩的任何扰动都是通过等熵波 连续波 或激波 间断波 传播到流场一定范围内 2 5二维定常超音速无旋流动的特征线解法 3 弱扰动波 压缩扰动 p 0 膨胀扰动 p 0 2 5 1弱扰动波的一维传播 定常问题 非定常问题 参考坐标系 选取与弱扰动波一起运动的坐标系 音速 非定常流动 定常流动 弱扰动波相对于波前气体的传播速度为音速 x正方向 控制体 扰动区 未扰动区 连续方程 1 动量方程 2 由 1 和 2 得 证明 弱扰动的传播过程为等熵过程 由于弱扰动的传播过程很快 可以认为是绝热过程 由绝热可压流体的能量方程 有 去掉髙阶小量 得 根据由比热焓表示的热力学第一定律 得 由 2 式 得 因此 弱扰动的传播过程是等熵过程 由完全气体的等熵方程 得到 对T 288K的空气 流体中的音速是气体介质状态参数的函数 在相同的温度下 不同介质有不同的音速 在同一气体中 音速随着气体温度升高而升高 并与气体的热力学温度的平方根成比例 音速是弱扰动波相对于波前气体的传播速度 音速的特性 马赫数 气体在某点的流速与当地音速之比 M1超音速流 弱扰动波传播的绝对速度 v 0 两道弱扰动波向上游和下游传播速度均为c vc 两道弱扰动波均向下游传播 马赫数 流体力学中表征流体压缩性影响的相似准数 为纪念E 马赫而命名 马赫数表示作用于流体微团的惯性力与弹性力之比 在不可压缩流动中 流体密度不变 声速为无限大 马赫数为零 在可压缩流动中 马赫数越大 流体的密度变化越大 即流体表现出的可压缩性越大 通常 按不同的马赫数范围 工程上常把流动划分为低速流动 M 0 3 亚声速流动 0 3 M 0 8 跨声速流动 0 8 M 1 2 超声速流动 1 2 Ma 5 和高超声速流动 M 5 等 马赫数的性质 2 5 2微扰动在空间的传播特征 扰动源静止 气流速度对扰动传播特性的影响 扰动波波形 扰动中心 ct ct 扰动不能超越扰动源向前传播 扰动波集中在线的一侧 超音速气流中扰动集中在马赫锥内 马赫角 vt 马赫锥半顶角 马赫角 当扰动源和气体间的相对速度不同时 波面的传播有以下四种情况 1 无相对运动 v 0 扰动源静止 即扰动源运动速度v 0 波面为一系列的同心球面 球心就是扰动波源所在的位置 一定时间后 将传播到整个空间 2 扰动源以亚音速 vc 运动 扰动源始终处于其发出的扰动波阵面之前 传播范围为一圆锥形空间 马赫锥 马赫锥顶角之半为马赫角 锥面即为马赫波 1 二维定常等熵流动基本方程 连续方程 2 5 3特征线法求解二维定常超音速无旋流动 动量方程 能量方程 等熵状态方程 连续方程中的两项可化简为 动量方程 动量方程 两式相加 以及无旋流条件 整理得 与标准线性偏微分方程进行比较 有 则得 2 特征线方程 当 即 所以特征线方法能用于解超音速条件下的平面二维定常无旋流动 特征线存在 可用特征线方法求解 3 相容方程 4 速度平面上的特征线 超音速定常无旋流动 设速度为V 气流方向角为 则速度分量为 表示速度和x轴正方向的夹角 则特征线方程为 则相容方程为 沿C 特征线 沿C 特征线 3 4变截面等熵管流 2 5 4气流速度与通道截面的关系 1 基本方程 微分形式的连续方程 微分形式的动量方程 微分形式的气体状态方程 积分形式的能量方程 2 截面变化造成的影响 由动量方程 得 结合连续方程 得 截面变化与速度变化的关系 3 三种流动情况 a 亚音速流动 M 1 dv和dA的符号相反 截面积缩小 速度增加 截面积扩大 速度减小 c 等音速流动 M 1 无论何种类型的流动 M 1处的截面积具有极小值 该截面为临界截面 临界截面一定是管道的最小截面 但最小截面不一定是临界截面 b 超音速流动 M 1 dv和dA的符号相同 截面积扩大 速度增加 截面积减小 速度减小 截面积变化对流动参数的影响 2 5 5超音速气流遇壁面外折引起膨胀马赫波 B 是极微小的角度 则O点相当于一个弱扰动源 扰动的传播范围是在由O点发出的马赫波OL的下游 扰动的影响是使气流外折 OL与原始气流夹角是马赫角 原始气流到了OL处感受到壁面外折的影响 方向折转角 沿着OB壁面的方向流动 相当于放宽气流的通道 dA 0 经过膨胀波以后 气流参数的变化趋势怎么样 首先 流速V是不断增大的 即 由微分形式动量方程 由绝能流的能量方程 由状态方程 1 d 1 M1 1 L1 3 4 2 L2 L4 L3 在点处 气流受到O1L1的扰动 气流折转角度为 速度变为 气流在处受外折微小角度以后 又在和继续外折角度和 在点处 气流受到O1L1的扰动 气流折转角度为 速度变为 由于 在点处 气流受到O1L1的扰动 气流折转角度为 速度变为 所以 后产生的膨胀波相对于原始气流的倾斜角都比前一道的小 膨胀波不可能彼此相交 因而形成一个连续的膨胀区域 根据极限的概念 曲线可以看作是无数条微元折线的极限 因而 超声速气流绕外凸曲壁膨胀加速的情况与上面分析完全一样 只是单个的膨胀波连成连续的膨胀波了 也称作 膨胀马赫波 壁面从连续外折到点 经过无限多次折转角后 总折角为 1 2 3 4 5 x y 为壁面和水平方向的夹角 1为马赫波与壁面的夹角 注意 正负号 M1 M3 M4 M2 M5 左伸膨胀马赫波 超音速气流沿连续下弯壁面的流动 正负号规定 由x正方向逆时针旋转为正 顺时针旋转为负 波线方程 外凸的壁面上方 形成膨胀波 即 M1 M2 M3 M4 M5 随着流线折转 连续膨胀马赫波是发散的 x y 1 2 3 4 超音速气流沿连续上弯壁面的流动 右伸膨胀马赫波 波线方程 左伸马赫波 波线方程为 跨波线 特征线 波线方程为 右伸马赫波 跨波线 特征线 Prandtl Meyer 普朗陀 迈耶 流动 如果壁面弯曲段缩成一个点 气流流过如图所示的外凸壁时 可以看作由一系列折转无限小的外凸壁的流动 气流每折转一个角度 就产生一道膨胀波 而气流每经过一道膨胀波 马赫数增大 马赫角减小 因此 这些膨胀波发散 如果壁面的几个折转点都无限接近于点O1 就形成了普朗特 迈耶流动 普朗陀 迈耶流动的形成 O1 2 6简单波 1 齐次可约方程组 当上面偏微分方程组中的 称方程组为齐次方程组 当齐次方程组的系数都只依赖于u v 则方程组称为是可约方程组 齐次可约方程组的相容方程为 由于右端各项均与x y无关 只与u v有关 上式可以独立积分 从而得到方程组的特解 2 简单波解的一般形式 为了更好地了解简单波的性质 我们需要求简单波的一般形式的解 由一维等熵流的基本方程组 对于 基本方程组中的第二个方程自动满足 第一个方程化为 的简单波流动 由偏微分方程形式 猜想 因变量可能为两个自变量某组合形式的函数 且 发现方程左边为 0 猜想正确 表明因变量v可看做X的函数 则得通解为 是自变量 的任意函数 由问题的边界条件决定 或 对于 的简单波流动 其通解为 或 以上解表明 简单波就是向一个方向传播的波 或者说简单波是单向行波 沿着特征线 前面由特征线方法求解曾得到 C 族特征线 沿着特征线 C 族特征线 由简单波通解得到 当 迹线与C 族特征线重合 或 C 族特征线是迹线 时 由简单波通解得到 当 迹线与C 族特征线重合 或 C 族特征线是质点迹线 I 中心简单波 当边界条件使得时 得到的解为 或 中心简单波 为特征线的共同起点 称为中心点 II 向前 右传 和向后 左传 简单波 由于简单波时单向行波 按传播方向分为向前和向后简单波 若波的传播速度大于质点速度 则流体质点将从右侧进入波动区 这种简单波称为向前 右传 简单波 反之 称为向后 左传 简单波 的波是向前 右传 简单波 的波是向后 左传 简单波 传播速度为 传播速度为 III 压缩波和稀疏波 穿过简单波后 若流体的密度和压强增大 称这波为压缩简单波 简称压缩波 若流体的密度和压强减小 则称为稀疏波 活塞背离气体移动 例1 设一无限长管道的左半段充满高压气体 右半段是真空 两段间用一薄膜相隔 高压气体是完全气体 初始状态为 求拆除薄膜后气体的运动 0 解 将气体与真空的交界面初始位置取为坐标原点x 0 当t 0时拆除薄膜的一瞬间 气体界面将被加速到某一个速度向右运动 同时 向高压气体内传入一个向后稀疏波 则波的传播迹线方程与族特征线重合 其方程为 结合初始条件 上式积分为 沿特征线 满足 1 2 3 联立两式 得波内的流场分布 界面气体质点的飞散速度 4 5 界面与真空相毗邻的是一个自由面 该自由面上满足 由 得 将上式代入 中 得界面的飞散速度为 6 7 例2 稀疏波的解 由充满气体的管道中抽离活塞产生的管内气体运动 是稀疏波的一个典型例子 t 0时刻向左抽动活塞 活塞速度为w t at 设活塞运动到A点处时 速度达到uA时 活塞不再加速 而是以常速uA继续向左运动 分析 图中 0 区域是尚未受扰动的常态区 区域 I 是简单波区 在活塞轨迹上A点之后活塞速度为常数 该段的特征线是一族平行线 出现对应的一个区域 II 它与区域 I 的分界线是发自A点的一条特征线 1 区域 I 内的解 对完全气体 沿着x轴 1 根据什么 根据什么 有 如何求 思考 2 联立 边界条件 根据活塞的边界条件确定任意函数 活塞的轨迹为 在气体边界上满足 紧靠活塞的气体其位置和速度与活塞相同 即 3 4 将边界条件以及代入 2 式 5 的函数形式 将 代入 2 式 得 经整理 得 6 7 1 由于在波头x c0t上气体的速度应v 0 所以取了根号前为 号的根 2 区域I中的坐标x c0t 因此v 0 即波内气体都随活塞向同一方向运动 求解关于的二次代数方程 解得 8 区域 I 中的C 族特征线是一族直线 其方程为 对上式求积分 积分的起点在活塞上 9 10 由初始条件 代入 11 式 于是得到对应于初始时刻的的方程为 11 当活塞在到达A点 速度达到 注 指右活塞开始加速运动时为起点发出的第一条特征线 指右活塞开始匀速运动时发出的一条特征线 是II区和I区的交界线 2 区域 II 内的解 区域II中的族特征线来自区域0 故整个区域II内有 12 上式在活塞轨迹线上也成立 II区活塞轨迹线上有 则得活塞轨迹线上气流声速为 13 则沿活塞轨迹线上的黎曼不变量为 则整个区域II中的黎曼不变量相等 则联立两式可得 14 15 从而解出区域II中的解 16 为活塞匀速运动的速度 17 区域II的族特征线即为区域I中的特征线的平行线 3 逃逸速度 活塞迹线 气体微团迹线 亚音速流动区 超音速流动区 当活塞由静止连续地向左加速 产生一族向右稀疏波 跨过右传波 满足 在活塞和气体不分离的条件下 与活塞毗邻的气体速度等于活塞运动速度 与活塞毗邻的气体音速 18 19 随着活塞向左的速度增加 音速增大还是减小 族特征线 波线 方程为 当 即从活塞上会产生一道平行于t轴的驻波 20 21 在驻波上当地气流速度 绝对值 等于当地音速 记做 驻波将简单稀疏波区分成两个区域 亚音速流动区和超音速流动区 继续增大活塞速度 22 使音速降到零值 对应的活塞速度为 与之毗邻的气体速度为 23 逃逸速度是气体通过稀疏波膨胀所能达到的最大极限速度 之后即使继续加大活塞速度 气体不可能继续加速 因为气体与活塞从此分离 它们之间形成真空 实际上逃逸速度不可能达到 例3 无限长管道内高压气体推动刚体运动的解 设在截面积为A管道内x 0截面处有一刚体 其质量为M0 刚体右侧是真空 左侧充满高压气体 其初始状态为 刚体在高压气体的推动下在时开始向右运动 求刚体松开后的运动轨迹 解 刚体松开后 在高压气体的作用下向右运动 从而有一左传稀疏波 使得刚体上的压力随时间发生变化 从而影响刚体的运动速度 设刚体运动轨迹为 与刚体毗邻的气体的速度与刚体相同 压力为作用于刚体上的压力 1 2 由于沿族特征线的稀疏波内满足 则与刚体毗邻的气体音速为 3 气体的压力为 求刚体的运动轨迹 4 5 积分式5 首先令 代入初始条件 5 式化为 得刚体运动速度 对刚体运动速度进行积分 得刚体的运动轨迹 极限速度 5 压缩波的解 当活塞朝气体推进时 将导致气体的压力和密度增大 这时产生的简单波就是压缩波 若活塞作加速运动 则活塞速度将不断增大 活塞面上的气体的速度和随之增大 于是活塞轨迹上发出的族特征线式聚拢的 在一定时候将出现同族特征线相交 在相交处出现间断解 在出现间断之前 简单波解成立 I 简单波区的解为 1 2 求 的函数形式 设活塞速度为 则活塞轨迹为 3 将活塞轨迹 及活塞运动时间 代入2 式 得的函数形式 4 将 代入2 式 得简单波区内 的解 5 压缩波在不同时刻的速度分布示意图 速度出现多值 不合理 形成间断的时间和地点 设时刻于处形成间断 这就意味着时的速度分布曲线成为垂直的 即 在活塞是均匀加速的情况下 间断出现在波头上 波前气体是静止的 即 由 则 可求得间断发生的时刻和位置 由 得 x t x t x t 四类简单波 右传膨胀波 右传压缩波 左传膨胀波 左传压缩波 实线为波传播迹线 虚线为气体质点传播迹线 设管内有流体以速度300m s向右运动 设想一小锤敲击管壁 于是流体中有疏密相间的音波在传播 传播速度为280m s 该弱扰动波传播向上游和下游传播的绝对速度分别为和和 偏微分方程过点 1 1 的特征线方程为 若初始条件为u 0 x 2x 1 则沿上述特征线的相容方程为 作业 已知一流场的两族特征线的黎曼不变量分别为 用表示的特征线的方程为 充满气体的管道中向右抽离活塞 气流初始时刻的音速为c0 速度为零 活塞从零时刻开始以速度运动 当运动到位置时 活塞开始以恒速度匀速向右推动 求活塞在加速运动阶段的速度和音速的解 已知下列线性偏微分方程组 导出特征线方程和相容方程