高数 隐函数与参数方程求导ppt课件

主讲教师 王升瑞 高等数学 第十三讲 1 第四节 一 隐函数的导数 三 由参数方程确定的函数的导数 隐函数与参数方程求导 第二章 二 对数求导法 2 一 隐函数的导数 若由方程 可确定y是x的函数 由 表示的函数 称为显函数 例如 可确定显函数 可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 此函数为隐函数 则称 如 3 两边对x求导 含导数的方程 隐函数求导方法 例1设 是由方程 所确定的 求 解 方程两边同时对x求导 4 例2求由方程 在x 0处的导数 解 方程两边对x求导 得 因x 0时y 0 故 确定的隐函数 代入 求解 5 例3 求椭圆 在点 处的切线方程 解 椭圆方程两边对x求导 故切线方程为 即 6 求其反函数的导数 解 方法1 方法2 等式两边同时对求导 例4 设 7 由方程 确定 解 方程两边对x求导 得 再求导 得 当 时 故由 得 再代入 得 求 例5设 若求 8 观察函数 方法 先在方程两边取对数 对数求导法 适用范围 二 对数求导法 然后利用隐函数的求导方法求出导数 9 例6 求 的导数 解 两边取对数 化为隐式 两边对x求导 10 1 对幂指函数 可用对数求导法求导 说明 注意 11 例7求下列函数的导数 两边取对数 两边对x求导 1 12 2 对x求导 两边取对数 求 13 例8 设 求 提示 分别用对数微分法求 答案 14 三 由参数方程确定的函数的导数 若变量y是x的函数 其对应关系是通过第三个变量 t联系在一起的 即x y是t的函数 这就是参数方程 参数方程的一般形式为 t是参变量 例如 表示抛物线 表示半径为a的圆 例如 炮弹以初速度v0与水平方向角t射出 其运动轨迹方程为 表示 又如 15 若参数方程 可确定一个y与x之间的函数 可导 且 则 时 有 时 有 此时看成x是y的函数 关系 参数方程求导 16 求在 处的切线方程 解 点坐标 切线方程 例9已知摆线方程 17 求 解 例10设 方程组两边同时对t求导 得 18 极坐标 若将直角坐标系中的原点取为极点 轴的正半轴取为极轴 设直角坐标系中点 的坐标 极坐标系中点 的坐标 称为极坐标的极径 称为极坐标的极角 把 由极轴出发逆时针方向为正 两坐标系中变量间关系 19 在对应于 的点处的切线方程 解 化为参数方程 当 时对应点 斜率 切线方程为 例11求螺线 20 求参数方程 所表示的函数 的 二阶导数 解 已知 存在则 也可使用一阶导数 21 例12设 求 已知 注意 则有 22 求 解 例13设 23 且 求 已知 解 例14 24 内容小结 1 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2 对数求导法 适用于幂指函数及某些用连乘 连除表示的函数 3 参数方程求导法 极坐标方程求导 转化 求高阶导数时 从低到高每次都用参数方程求导公式 25 作业 P1091 2 3 4 5 1 3 6 7 2 4 8 26 在 求对数螺旋线 线方程 解 因为 得 8 对求导 对应点处的切 故所求切线方程为 27