逆矩阵重点和习题ppt课件

定理 行列式某一行 或列 的每一元素与另一行 或列 元素的代数余子式乘积之和为零 即 2逆矩阵 一 准备知识 1 结合行列式的展开定理 有 2 引例 若 求矩阵X 使 AX E2 解 设 解线性方程组容易得到 x1 3 x2 2 x3 1 x4 1 问题 对于矩阵A 是否存在一个矩阵A 1 使得 比较矩阵方程AX B与数的方程ax b 二 逆矩阵的概念 3 1 定义 对于n阶方阵A 如果存在一个n阶方阵B 使AB BA E 则称A为可逆矩阵 简称可逆 并称B为A的逆矩阵 例 对于 否则称A是不可逆的 AB E BA 故A是可逆的 并且B为A的逆矩阵 A的逆矩阵记为 A 1 即 AA 1 A 1A E 2 问题 1 怎么样的方阵才可逆 2 若A可逆 逆阵有多少个 3 若A可逆 怎样去求它的逆阵A 1 4 分析 设B和C都是A的逆矩阵 则 AB BA E AC CA E B BE B AC BA C EC C 需证明B C 证明唯一性常用同一法 又 注 适当乘上单位阵E 并将E表示成一个矩阵与其逆阵乘积的形式 是一种常用的技巧 单位阵技巧 3 定理 若A可逆 则A的逆阵唯一 三 逆阵存在的充分必要条件 1 定理 若A可逆 则 注 如果 则称A是非奇异的 否则称A是奇异的 5 2 伴随矩阵 设An aij 令Aij是A的行列式 A 中元素aij的代数余子式 将这n2个数排成如下n阶方阵 注意中Aij的排列 称之为A的伴随矩阵 例 求的伴随矩阵 6 同理可得 解 所以 2 3 2 6 6 2 4 5 2 3 定理 设A为n阶方阵 若 则A可逆 且 7 一行元素与另一行元素对应代数余子式乘之和 A 0 0 0 A 0 A 0 0 一行元素与对应代数余子式乘之和 同理 证明 8 例 求的逆矩阵 解 A 1存在 故 注 求逆阵需注意 1 Aij的符号 1 i j 2 中Aij的排列 9 4 定理 方阵A可逆 推论 若A B都是n阶矩阵 且AB E 则BA E 即A B皆可逆 且A B互为逆矩阵 证明 因为AB E 所以 A B 1 A 0 B 0 故A B皆可逆 BA EBA A 1A BA A 1 AB A A 1EA A 1A E 注 1 判断B是否为A的逆 只需验证AB E或BA E的一个等式成立即可 2 逆矩阵是相互的 即 若A 1 B 则B 1 A 课本54页推论1 10 练习 1 求的逆矩阵 答案 1 其中 A 1 2 设A B都是n阶方阵 B可逆 且A2 AB B2 O 证明 A和A B均可逆 2 提示 只需证明 把A2 AB B2 O改写为A A B B2 思考 11 四 逆阵的性质 1 若A可逆 则A 1也可逆 且 A 1 1 A 2 若A可逆 数 则kA也可逆 且 3 若A可逆 则AT也可逆 且 AT 1 A 1 T 4 若A B为同阶可逆方阵 则其积AB也可逆 且 AB 1 B 1A 1 推广 5 若A可逆 A 1 A 1 AB 1 A 1B 1 注 一般的 kA 1 kA 1 12 例 设求矩阵X 使AX B 分析 法一 待定系数法 若 法二 则A可逆 由AX B可得 X A 1B 注 若YA B 则Y BA 1 13 例 矩阵A B满足AB 2A B 求A 其中 分析 AB 2A B AB 2A B A B 2E B 若 B 2E 0 则A B B 2E 1 容易错为A B 2 B A B B 2E 1 14 练习 用逆矩阵解线性方程组 答案 15 思考 若A B均可逆 那么A B可逆吗 不一定 如A E B E A B O不可逆 注 就算A B可逆 A B 1 A 1 B 1 16