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考点强化练21矩形、菱形、正方形夯实基础1.(xx山东临沂)在ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DEAC,DFAB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是()A.若ADBC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,则四边形AEDF是菱形答案D解析若ADBC,无法判定四边形AEDF是矩形,所以A错误;若AD垂直平分BC,可以判定四边形AEDF是菱形,所以B错误;若BD=CD,无法判定四边形AEDF是菱形,所以C错误;若AD平分BAC,则EAD=FAD=ADF,所以AF=DF,又因为四边形AEDF是平行四边形,所以四边形AEDF是菱形,故D正确.2.(xx合肥四十五中模拟)在ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上的点.若四边形AECF为正方形,则AE的长为()A.7B.4或10C.5或9D.6或8答案D解析据题意画图,设AE的长为x,根据正方形的性质可得BE=14-x,在ABE中,根据勾股定理可得x2+(14-x)2=102,解得x1=6,x2=8.故AE的长为6或8.故选D.3.(xx浙江衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()A.35B.53C.73D.54答案B解析设DF=x,则CF=AF=6-x,由勾股定理有x2+42=(6-x)2,解得x=53.4.(xx陕西)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()A.AB=2EFB.AB=2EFC.AB=3EFD.AB=5EF答案D解析连接AC,BD,交于点O.E,F分别为AB,BC的中点,EF=12AC.四边形ABCD为菱形,AO=12AC,ACBD.EF=AO.同理:EH=BO.EH=2EF.BO=2AO.在RtABO中,设AO=x,则BO=2x.AB=x2+(2x)2=5x=5AO.AB=5EF,故选D.5.(xx合肥庐阳区一模)如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为83,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为()A.2B.23C.4D.43导学号16734128答案B解析如图作CEAB于E,交BD于P,连接AC、AP.菱形ABCD的周长为16,面积为83,AB=BC=4,ABCE=83,CE=23.在RtBCE中,BE=42-(23)2=2,BE=EA=2,E与E重合,四边形ABCD是菱形,BD垂直平分AC,A、C关于BD对称,当P与P重合时,PA+PE的值最小,最小值为CE的长,即为23,故选B.6.(xx合肥瑶海区模拟)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,ABC=60,且点A的坐标为(4,0),若E是AD的中点,则点E的坐标为.答案(2,-23)解析过E作EFAC,交BD于F,EGBD,交AC于G,E是AD的中点,G是AO的中点,F是OD的中点.点A的坐标为(4,0),点G(2,0).由菱形的性质,知ACBD,ADB=CDB.ABC=60,ADB=30.OD=3OA=43.OF=12OD=23.E(2,-23).7.(xx贵州铜仁)如图,RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,D是AB上一点,DEAC于点E,DFBC于点F,边接EF,则EF的最小值为.答案2.4解析如图,连接CD.C=90,AC=3,BC=4,AB=32+42=5,DEAC,DFBC,C=90,四边形CFDE是矩形,EF=CD.由垂线段最短可得CDAB时,线段EF的值最小,此时,SABC=12BCAC=12ABCD,即1243=125CD,解得CD=2.4,EF=2.4.8.(xx山东青岛)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别是边AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OF,OE.(1)求证:BCEDCF;(2)当AB与BC满足什么条件时,四边形AEOF是正方形?请说明理由.(1)证明四边形ABCD为菱形,AB=BC=CD=DA,B=D.又E,F分别是AB,AD中点,BE=DF.BCEDCF(SAS).(2)解若ABBC,则AEOF为正方形,理由如下:E,O分别是AB,AC中点,EOBC,又BCAD,OEAD,即OEAF.同理可证OFAE,四边形AEOF为平行四边形,由(1)可得AE=AF,平行四边形AEOF为菱形.BCAB,BAD=90,菱形AEOF为正方形.提升能力9.(xx山东滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E,F分别在BC,CD上,若AE=5,EAF=45,则AF的长为.答案4103解析取AD、BC中点M、N,由AD=4,AB=2,易得ABNM是正方形,连接MN,EH,由HAE=45,四边形ABNM是正方形,可知此处有典型的正方形内“半角模型”,故有EH=MH+BE.由AB=2,AE=5,易知BE=1,所以EN=BN-BE=2-1=1.设MH=x,由M是AD中点,AMHADF可知,DF=2MH=2x,HN=2-x,EH=MH+BE=x+1,在RtEHN中有EN2+HN2=EH2,故12+(2-x)2=(x+1)2,解得x=23,故DF=43,故AF=AD2+DF2=4103.10.(xx江苏扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AEBD是菱形;(2)若DC=10,tanDCB=3,求菱形AEBD的面积.(1)证明四边形ABCD是平行四边形,ADCE,DAF=EBF.AFD=BFE,AF=FB,AFDBFE,AD=EB.ADEB,四边形AEBD是平行四边形.BD=AD,四边形AEBD是菱形.(2)解四边形ABCD是平行四边形,CD=AB=10,ABCD,ABE=DCB.tanABE=tanDCB=3.四边形AEBD是菱形,ABDE,AF=FB,EF=DF,tanABE=EFBF=3.BF=102,EF=3102,DE=310.S菱形AEBD=12ABDE=1210310=15.导学号1673412911.(xx安徽)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h10,h20,h30).(1)求证:h1=h3;(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h2+h1)2+h12;(3)若32h1+h2=1,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.(1)证明过A点作AFl3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CHl2分别交l2、l3于点H、G,四边形ABCD是正方形,l1l2l3l4,AB=CD,ABE+HBC=90,CHl2,BCH+HBC=90,BCH=ABE,BCH=CDG,ABE=CDG,AEB=CGD=90,在ABE和CDG中,ABE=CDG,AEB=CGD,AB=CD,ABECDG(AAS),AE=CG,即h1=h3.(2)证明四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,AEB=DFA=BHC=CGD=90,ABE=FAD=BCH=CDG,AEBDAFBHCCGD,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形,S=412h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h2)2+h12.(3)解由题意,得h2=1-32h1,所以S=h1+1-32h12+h12=54h12-h1+1=54h1-252+45,又h10,1-32h10,解得0h123,当0h125时,S随h1的增大而减小;当h1=25时,S取得最小值45;当25h123时,S随h1的增大而增大.导学号16734130创新拓展12.已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.(1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DFEC,求证:OE=OG;(2)如图2,H是BC上的点,过点H作EHBC,交线段OB于点E,连接DH交CE于点F,交OC于点G.若OE=OG,求证:ODG=OCE;当AB=1时,求HC的长.(1)证明四边形ABCD是正方形,ACBD,OD=OC.DOG=COE=90,OEC+OCE=90.DFCE,OEC+ODG=90.OCE=ODG,DOGCOE(ASA).OE=OG.(2)证明OD=OC,DOG=COE=90,又OE=OG,DOGCOE(SAS).OCE=ODG.解设CH=x,四边形ABCD是正方形,AB=1,BH=1-x.DBC=BDC=ACB=45,EH=BH=1-x.OCE=ODG,BDC-ODG=ACB-OCE,HDC=ECH.EHBC,EHC=HCD=90.CHEDCH,EHHC=HCCD.HC2=EHCD,得x2+x-1=0,解得x1=5-12,x2=-5-12(舍去),HC=5-12.
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