2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题8 函数与导数 2.8.2 函数与方程及函数的应用课件.ppt

第2课时函数与方程及函数的应用 热点考向一函数的零点问题高频考向 类型一判断函数零点所在区间及零点个数 典例1 1 函数f x log2x的零点所在区间是 A 0 1 B 1 2 C 3 4 D 4 2 2018 茂名一模 定义在R上函数y f x 2 的图象关于直线x 2对称 且函数f x 1 是偶函数 若当x 0 1 时 f x sinx 则函数g x f x e x 在区间 2018 2018 上零点的个数为 A 2017B 2018C 4034D 4036 大题小做 解析 1 选C 因为连续减函数f x log2x 所以f 3 2 log23 0 f 4 log24 0 所以函数f x log2x的零点所在的区间是 3 4 2 选D 函数g x f x e x 在区间 2018 2018 上零点的个数 函数f x 的图象与y e x 的图象交点个数 由y f x 2 的图象关于直线x 2对称 得f x 是偶函数 即f x f x 又因为函数f x 1 是偶函数 所以f x 1 f x 1 故f x 2 f x f x 因此 f x 是周期为2的偶函数 因为当x 0 1 时 f x sinx 作出y f x 与y 图象如图 可知每个周期内有两个交点 所以函数g x f x e x 在区间 2018 2018 上零点的个数为2018 2 4036 易错警示 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件 而不是必要条件 判断零点个数还要根据函数的单调性 对称性或结合函数图象 探究追问 第 2 题改为 定义在R上的奇函数f x 满足条件f 1 x f 1 x 当x 0 1 时 f x x 若函数g x f x ae x 在区间 2018 2018 上有4032个零点 则实数a的取值范围 是 A 0 1 B e e3 C e e2 D 1 e3 解析 选B 由f 1 x f 1 x 得f x f 2 x 由f x 为奇函数 得f x f x 由 得 f x f 2 x 所以f x f 2 x 所以f 2 x f 4 x 所以f x f x 4 所以f x 周期为4 因为当x 0 1 时 f x x 根据m x f x 与n x ae x 都是偶函数 且图象 x 0 如图 函数g x f x ae x 在区间 2018 2018 上有4032个零点 即m x f x 与n x ae x 在 0 4 有且仅有两个交点 所以即e a e3 名师点睛 判断函数零点个数的方法 1 解方程法 若对应方程f x 0可解 则通过解方程 方程有几个解函数就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要判断函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 而且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 转化为两个函数图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 两函数图象交点的个数 即是函数零点的个数 类型二根据零点情况求参数的取值范围 典例2 已知函数f x 若函数g x f x k x 1 在 1 恰有两个不同的零点 则实数k的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 2 3 D 3 解析 选A 函数g x f x k x 1 在 1 恰有两个不同的零点 等价于y f x 与y k x 1 的图象在 1 恰有两个不同的交点 画出函数f x 的图象 如图 y k x 1 的图象是过定点 1 0 斜率为k的直线 当直线y k x 1 经过点 1 2 时 直线与y f x 的图象恰有两个交点 此时 k 1 当直线经过点 0 3 时直线与y f x 的图象恰有三个交点 直线在旋转过程中与y f x 的图象恰有两个交点 斜率在 1 3 内变化 所以实数k的取值范围是 1 3 名师点睛 已知函数有零点 方程有根 求参数取值范围的常用方法 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 组 再通过解不等式 组 确定参数的取值范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化为求函数值域的问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后数形结合求解 考向精练 1 定义在R上的奇函数f x 当x 0时 f x 则关于x的函数F x f x a 0 a 1 的零点个数为 A 2B 3C 4D 5 解析 选D 因为f x 为奇函数 所以x 0时 f x f x 画出y f x 和y a 0 a 1 的图象 如图共有5个交点 所以F x 有5个零点 2 已知在区间 0 2 上的函数f x 且g x f x mx在区间 0 2 内有且仅有两个不同的零点 则实数m的取值范围是 解析 选A 由函数g x f x mx在 0 2 内有且仅有两个不同的零点 得y f x y mx在 0 2 内的图象有且仅有两个不同的交点 当y mx与y 3在x 0 1 相切时 mx2 3x 1 0 9 4m 0 m 结合图象可得当 m 2或0 m 时 函数g x f x mx在 0 2 内有且仅有两个不同的零点 3 若函数f x 2x 4 a存在两个零点 且一个为正数 另一个为负数 则a的取值范围为 A 0 4 B 0 C 3 4 D 3 解析 选C 如图 若f x 2x 4 a存在两个零点 且一个为正数 另一个为负数 则a 3 4 故选C 热点考向二函数与方程的综合问题考向剖析 高考考查的重点是掌握函数的概念与性质 理解方程的根与函数零点的关系 结合函数图象和性质判断方程根的个数等 以选择题 填空题为主 典例3 1 已知函数f x g x f x 则方程f x g x 的解的个数为 A 4B 3C 2D 1 2 2018 绵阳一模 函数f x 满足f x 2 f x 且当 1 x 1时 f x x 若函数y f x 的图象与函数g x logax a 0 且a 1 的图象有且仅有4个交点 则a的取值集合为 A 4 5 B 4 6 C 5 D 6 解析 1 选A 函数f x 的图象如图所示 由g x f x 可得g x 和f x 的图象关于原点对称 作出y g x 的图象 可得y f x 和y g x 的图象有4个交点 则方程f x g x 的解的个数为4 故选A 2 选C 因为f x 2 f x 所以f x 的周期为2 在x 1 1 时 f x x 画出函数f x 与g x logax的图象如图所示 若函数y f x 的图象与函数g x logax a 0 且a 1 的图象有且仅有4个交点 则函数g x logax的图象过 5 1 点 即a 5 名师点睛 利用函数的图象与性质确定 应用方程根 解 的个数的方法 1 转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题 数形结合 构建不等式 方程 求解 2 分离参数 转化为求函数的值域问题求解 拓展提升 2018 信阳二模 已知函数f x x R 满足f x 8 f 4 x 函数g x 若函数f x 与g x 的图象共有168个交点 记作Pi xi yi i 1 2 168 则 x1 y1 x2 y2 x168 y168 的值为 A 2018B 2017C 2016D 1008 解析 选D 函数f x x R 满足f x 8 f 4 x 可得 f x f 4 x 8 即函数f x 关于点 2 4 对称 函数g x 可知图象关于 2 4 对称 所以函数f x 与g x 的图象共有168个交点即在 2 4 两边各有84个交点 而每个对称点都有 横坐标之和为4 纵坐标之和为8 因为有168个交点 即有84组 故得 x1 y1 x2 y2 x168 y168 4 8 84 1008 1 2017 江苏高考 设f x 是定义在R上且周期为1的函数 在区间 0 1 上 f x 其中集合D 则方程f x lgx 0的解的个数是 解析 由于f x 0 1 则需考虑1 x 10的情况 在此范围内 x Q且x Z时 设x p q N p 2 且p q互质 若lgx Q 则由lgx 0 1 可设lgx m n N m 2 且m n互质 因此 则10n 此时左边为整数 右边不是整数 矛盾 因为lgx Q 因此lgx不可能与每个周期内x D对应的部分相等 只需考虑lgx与每个周期x D的部分的交点 画出函数图象 图中交点除 1 0 外 其他交点横坐标均为无理数 属于每个周期x D的部分 且x 1处 lgx 1 则在x 1附近仅有一个交点 因此方程解的个数为8个 答案 8 2 2018 茂名二模 已知f x 是定义域为 0 的单调函数 若对任意的x 0 都有f f x x 4 且方程 f x 3 a在区间 0 3 上有两解 则实数a的取值范围是世纪金榜导学号 A 0 a 1B a 1C 0 a 1D a 1 解析 选A 因为f x 是定义域为 0 的单调函数 对任意的x 0 都有f f x x 4 所以必存在唯一的正实数m 满足f x x m f m 4 所以f m m a 由 得 4 m m 即m m 4 所以m 解得m 3 故f x x m 3 所以f x 3 x 由方程 f x 3 a在区间 0 3 上有两解 即有 a在区间 0 3 上有两解 作出y 的图象 如图所示 结合题意 0 a 1 热点考向三利用函数模型解决实际问题考向剖析 函数的实际应用以二次函数 分段函数模型为载体 主要考查函数的最值问题 典例4 松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中 通车后将给市民出行带来便利 已知某条线路通车后 电车的发车时间间隔t 单位 分钟 满足2 t 20 经市场调研测算 电车载客量与发车时间间隔t相关 当10 t 20时电车为满载状态 载客量为400人 当 2 t 10时 载客量会减少 减少的人数与 10 t 的平方成正比 且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人 记电车载客量为p t 1 求p t 的表达式 并求当发车时间间隔为6分钟时 电车的载客量 2 若该线路每分钟的净收益为Q 60 元 问当发车时间间隔为多少时 该线路每分钟的净收益最大 审题导引 1 要求p t 先列出 比例系数 相关的解析式 再利用待定系数法求解 2 要求每分钟净收益的最大值 先写出 的解析式 再利用基本不等式求解 p t 与k Q 解析 1 由题意知 p t k为常数 因为p 2 400 k 10 2 2 272 所以k 2 所以p t 所以p 6 400 2 10 6 2 368 2 由Q 60 可得 当2 t 10时 Q 180 180 2 60 当且仅当t 5时等号成立 当10 t 20时 Q 60 60 90 30 当t 10时等号成立 所以当发车时间间隔为5分钟时 该线路每分钟的净收益最大 最大为60元 名师点睛 解函数应用问题的步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择函数模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的函数模型 3 解模 求解函数模型 得出数学结论 4 还原 将数学结论还原为实际意义的问题 以上过程用框图表示如下 考向精练 2018 绵阳一模 某单位为鼓励职工节约用水 作出如下规定 每位职工每月用水不超过10立方米的 按每立方米3元收费 用水超过10立方米的 超过的部分按每立方米5元收费 某职工某月缴水费55元 则该职工这个 月实际用水为 立方米 A 13B 14C 15D 16 解析 选C 设该职工这个月实际用水为x立方米 因为每位职工每月用水不超过10立方米的 按每立方米3元水费收费 所以用水不超过10立方米月缴水费不超过30元 因为该职工这个月缴水费55元 所以该职工这个月实际用水超过10立方米 超过部分的水费 x 10 5 所以由题意可列出一元一次方程 30 x 10 5 55 解得 x 15 加练备选 1 2018 杨浦区一模 如图所示 用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地 以墙为一边 并用平行于一边的篱笆隔开 1 设场地面积为y 垂直于墙的边长为x 试用解析式将y表示成x的函数 并确定这个函数的定义域 2 怎样围才能使得场地的面积最大 最大面积是多少 解析 1 场地面积为y 垂直于墙的边长为x 则y x l 3x 由x 0 且l 3x 0 可得函数的定义域为 2 y x l 3x 3x l 3x 当x 时 这块长方形场地的面积最大 这时的长为l 3x l 最大面积为 2 2018 闵行区一模 某公司举办捐步公益活动 参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶 再将牛奶捐赠给留守儿童 此活动不但为公益事业作出了较大的贡献 公司还获得了相应的广告效益 据测算 首日参与活动人数为10000人 以后每天人数比前一天都增 加15 30天后捐步人数稳定在第30天的水平 假设此项活动的启动资金为30万元 每位捐步者每天可以使公司收益0 05元 以下人数精确到1人 收益精确到1元 1 求活动开始后第5天的捐步人数 及前5天公司的捐步总收益 2 活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余 解析 1 设第x天的捐步人数为f x 则f x 所以第5天的捐步人数为f 5 10000 1 15 4 17490 由题意可知前5天的捐步人数成等比数列 其中首项为10000 公比为1 15 所以前5天的捐步总收益为 0 05 3371 2 设活动第m天后公司捐步总收益可以收回启动资金并有盈余 若1 m 30 则 0 05 300000 解得m log1 1591 32 3 舍 若m 30 则0 05 300000 解得x 32 87 所以活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余