2019届高考数学二轮复习 第二篇 专题通关攻略 专题3 数列 2.3.1 等差数列、等比数列课件.ppt

第1课时等差数列 等比数列 热点考向一等差 比 数列的基本运算考向剖析 本考向考查题型为选择填空题或解答题 主要考查利用等差 等比数列的通项公式 前n项和公式 等差 比 数列的性质进行五个基本量的 知三求二 运算 考查数学运算能力 为基础或中档题 分值为5 12分 2019年的高考仍将以选择填空题或解答题形式考查 除常规的 知三求二 运算外 也不排除对数列应用问题的考查 典例1 1 2018 成都二模 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S4 20 a5 10 则a16 A 32B 12C 16D 32 2 2018 兰州一模 已知 an 是各项均为正数的等比数列 Sn为其前n项和 若a1 1 a3 a5 64 则S6 A 65B 64C 63D 62 解析 1 选D 由已知得解得所以a16 a1 15d 2 15 2 32 2 选C 因为a3 a5 q6 q6 64 解得q 2或q 2 舍 所以S6 63 名师点睛 等差 比 数列的基本运算等差 比 数列的基本运算是利用通项公式 求和公式求解首项a1和公差d 公比q 在列方程组求解时 要注意整体计算 以减少计算量 考向精炼 1 已知数列 an 满足an 1 2an n N a1 a3 2 则a5 a7 A 8B 16C 32D 64 解析 选C 因为数列 an 满足an 1 2an n N 所以此数列是等比数列 公比为2 则a5 a7 24 a1 a3 24 2 32 2 已知 an 是公差为1的等差数列 Sn为 an 的前n项和 若S8 4S4 则a10 A B C 10D 12 解析 选B 由S8 4S4可知 8a1 28d 4 即8a1 28 16a1 24解得a1 所以a10 a1 9d 加练备选 1 2018 菏泽一模 已知在等差数列 an 中 a1 1 a3 2a 1 a5 3a 2 若Sn a1 a2 an 且Sk 66 则k的值为 A 9B 11C 10D 12 解析 选B 因为在等差数列中 第一项 第三项 第五项分别为1 2a 1 3a 2 所以2 2a 1 1 3a 2 解得a 1 所以公差d a 1 所以Sk k 1 1 66 解得k 11或k 12 舍 2 2018 济南三诊 中国古代数学名著 九章算术 中有这样一个问题 今有牛 马 羊食人苗 苗主责之粟五斗 羊主曰 我羊食半马 马主曰 我马食半牛 今欲衰偿之 问各出几何 此问题的译文是 今有牛 马 羊吃了别人的禾苗 禾苗主人要求赔偿5斗粟 羊主人说 我羊所吃的禾苗只有马的一半 马主人 说 我马所吃的禾苗只有牛的一半 打算按此比例偿还 他们各应偿还多少 已知牛 马 羊的主人应偿还a升 b升 c升 1斗为10升 则下列判断正确的是 A a b c依次成公比为2的等比数列 且a B a b c依次成公比为2的等比数列 且c C a b c依次成公比为的等比数列 且a D a b c依次成公比为的等比数列 且c 解析 选D 根据 我羊所吃的禾苗只有马的一半 我马所吃的禾苗只有牛的一半 可知 a b c依次成公比为的等比数列 a b c a a a 50 解得a 所以c a 热点考向二等差 比 数列性质的应用考向剖析 本考向考题形式为选择填空题或解答题 主要渗透在等差 等比数列的运算 判断 推理问题之中 考查灵活运用性质快速进行数学运算的能力 2019年的高考中等比数列的性质仍将会渗透在选择填空题或解答题中考查 典例2 1 2018 聊城一模 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S13 104 a6 5 则数列 an 的公差为 A 2B 3C 4D 5 2 2018 菏泽一模 等比数列 an 中 a2 a16是方程x2 6x 2 0的两个实数根 则的值为 A 2B 或C D 解析 1 选B 由S13 13a7 104得 a7 8 所以d a7 a6 8 5 3 2 选B 因为a2 a16是方程x2 6x 2 0的根 所以a2 a16 6 a2a16 2 所以a2 0 a16 0 即a1 0 q0 所以 名师点睛 等差 等比数列性质的应用策略 1 项数是关键 解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系 寻找项与项之间 多项之间的关系 选择恰当的性质解题 2 整体代入 计算时要注意整体思想 如求Sn可以将与a1 an相等的式子整体代入 不一定非要求出具体的项 3 构造不等式函数 可以构造不等式函数利用函数性质求范围或最值 考向精炼 1 等比数列 an 中 a3 2 a11 8 则a7 A 4B 4C 4D 5 解析 选A 方法一 基本量法 由已知得所以a7 a1q6 4 方法二 等比中项法 a3 a11 2 8 16 在等比数列中 奇数项同号 偶数项同号 已知a3 0 a11 0 所以a7 4 2 2018 沈阳三模 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3 S4 15 则S6 解析 在等比数列 an 中 S2 S4 S2 S6 S4成等比数列 即3 15 3 S6 15成等比数列 解得S6 63 答案 63 易错提醒 在等比数列中 若公比q 1 则以上性质不能随意应用 比如 等比数列1 1 1 1 此时S2 S4 S2 S6 S4的每一项都是0 不能构成等比数列 3 已知递增的等差数列 an 的前三项和为 6 前三项积为10 则前10项和S10 世纪金榜导学号 解析 设前三项为a d a a d d 0 则有所以数列首项为a d 5 公差d 3 故前10项和为S10 10a1 d 50 135 85 答案 85 热点考向三等差 比 数列的判断与证明高频考向 类型一等差数列的判断与证明 典例3 已知数列 an 满足 2n2 2n n 2 3 4 a1 6 1 求证为等差数列 并求出 an 的通项公式 2 数列的前n项和为Sn 求证 Sn 大题小做 解析 1 因为nan n 1 an 1 2n2 2n 所以 2 所以数列是以 3为首项 2为公差的等差数列 所以即an 2 因为所以Sn 易错警示 未能正确将已知等式变形 得不到数列 an 的通项公式 证明不等式成立时 放缩技巧应用不恰当 探究追问 若将已知等式改为 nan n 1 an 1 n2 n 且首项为 a1 2 试解决问题 1 解析 因为nan n 1 an 1 n2 n 所以 1 所以数列是以 1为首项 1为公差的等差数列 所以 类型二等比数列的判断与证明 典例4 2018 聊城一模 已知数列 an 满足a1 2 an 1 2an 4 1 证明 an 4 是等比数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 审题导引 1 要证明 an 4 是等比数列 只要将已知等式an 1 2an 4化为 即可 2 要求数列 an 的前n项和 根据等差 等比数列的前n项和公式进行 求和即可 an 1 4 2 an 4 分组 解析 1 由an 1 2an 4得 an 1 4 2an 4 4 2 an 4 若an 4 0 则an 4 与a1 2矛盾 所以 2 故 an 4 是首项为a1 4 2 公比为2的等比数列 2 由 1 可知an 4 2 2n 1 2n 所以an 2n 4 由分组求和法可知 Sn 4n 2n 1 4n 2 名师点睛 等比数列的等价条件 an 是等比数列 1 定义 n N an 1 qan q为非零常数 2 等比中项 n N an an 1 0 3 通项公式 n N an cqn c q 0为常数 4 前n项和公式 n N Sn n 常数列 或者Sn qn 1 0 q 0 1 考向精炼 1 设数列 an 的首项a1 a 且an 1 记bn a2n 1 n 1 2 3 1 求a2 a3与b1 b2 b3 用a表示 2 判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 解析 1 2 bn 是等比数列 证明如下 因为bn 1 a2n 1 且b1 a 0 所以 bn 是首项为a 公比为的等比数列 2 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 2 且满足an 1 Sn 2n 1 n N 世纪金榜导学号 1 证明 数列为等差数列 2 求S1 S2 Sn 解析 1 由条件可知 Sn 1 Sn Sn 2n 1 即Sn 1 2Sn 2n 1 整理得 1 所以数列是以1为首项 1为公差的等差数列 2 由 1 可知 1 n 1 n 即Sn n 2n 令Tn S1 S2 Sn Tn 1 2 2 22 n 2n 2Tn 1 22 n 1 2n n 2n 1 Tn 2 22 2n n 2n 1 整理得Tn 2 n 1 2n 1 加练备选 1 关于等差数列和等比数列 有如下四个说法 若数列 an 的前n项和Sn an2 bn c a b c为常数 则数列 an 为等差数列 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 2 则数列 an 为等差数列 数列 an 是等差数列 Sn为前n项和 则Sn S2n Sn S3n S2n 仍为等差数列 数列 an 是等比数列 Sn为前n项和 则Sn S2n Sn S3n S2n 仍为等比数列 其中正确命题的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 选A 若数列 an 的前n项和Sn an2 bn c a b c为常数 当c 0时 数列 an 为等差数列 否则不是等差数列 错误 若数列 an 的前n项和Sn 2n 1 2 可求得an 2n 是等比数列 错误 数列 an 是等差数列 Sn为前n项和 则Sn S2n Sn S3n S2n 仍为等差数列 正确 若数列 an 公比q 1 n为偶数 则Sn S2n Sn均为0 不为等比数列 故 错误 正确的说法有1个 名师点睛 本题考查等差数列与等比数列的性质 如等差数列的通项公式为an与n的一次函数关系 常数数列为常数函数关系 前n项和与n的关系为二次函数关系且常数项为零等 等差数列等长片段和仍成等差数列 等比数列等长片段和仍成等比数列等 2 已知数列 an 满足a1 4 an 4 n 2 令bn 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 由已知得 当n 2时 故 bn 是首项为 公差为的等差数列 2 由 1 可知 bn 即解得an 2 3 在数列 an 中 已知a1 1 a2 3 an 2 3an 1 2an 1 证明数列 an 1 an 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 2 设bn log2 an 1 bn 的前n项和为Sn 求证 解析 1 由an 2 3an 1 2an得 an 2 an 1 2 an 1 an 又因为a1 1 a2 3 即a2 a1 2 所以数列 an 1 an 是首项为2 公比为2的等比数列 an 1 an 2 2n 1 2n an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 2 22 2n 1 2n 1 2 bn log2 an 1 log22n n Sn 所以