2019届高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 1.6.2 函数与方程及函数的应用课件 文.ppt

第二讲函数与方程及函数的应用 热点题型1函数零点的判断 感悟经典 典例 1 已知定义在R上的奇函数y f x 对于 x R都有f 1 x f 1 x 当 1 x 0时 f x log2 x 则函数g x f x 2在 0 8 内所有的零点之和为 A 6B 8C 10D 12 2 2018 东营一模 已知f x 若存在实数b 使函数g x f x b有两个零点 则a的取值范围是 联想解题 1 看到讨论函数在给定区间内的零点之和 想到利用函数的奇偶性 对称性画出函数的图象 2 零点问题化为方程的根 结合图象解不等式 规范解答 1 选D 因为函数g x f x 2在 0 8 内所有的零点之和 就是f x 2在 0 8 内所有的根之和 也就是y f x y 2交点横坐标之和 画出y f x y 2的函数图象 如图 由图知x1 x2 2 x3 x4 10 所以 x1 x2 x3 x4 12 2 问题等价于方程x3 b x a 与方程x2 b x a 的根的个数和为2 若两个方程各有一个根 则可知关于b的不等式组有解 所以a21 若方程x3 b x a 无解 方程x2 b x a 有2个根 则可知关于b 的不等式组有解 从而a 0 综上 实数a的取值范围是 0 1 答案 0 1 规律方法 判断函数零点个数的方法 1 直接求零点 令f x 0 则方程解的个数即为零点的个数 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合 对于给定的函数不能直接求解或画出图形 常会通过分解转化为两个函数图象 然后数形结合 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 对点训练 1 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 4 D 4 解析 选C 由题意知 函数f x 在 0 上为减函数 又f 1 6 0 6 0 f 2 3 1 2 0 f 4 log24 2 0 由零点存在性定理可知 函数f x 在区间 2 4 上必存在零点 2 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 选B 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数即为函数y 2x y 2 x3在区间 0 1 内的图象的交点个数 作出图象 如图 即可知两个函数图象在区间 0 1 内有1个交点 故原函数在区间 0 1 内的零点个数是1 提分备选 1 在下列区间中 函数f x ex 4x 3的零点所在的区间为 A B C D 解析 选C 因为f x ex 4 0 f0 f 0 由零点存在性定理知f x 在上存在零点 2 若函数f x 2x 2 b有两个零点 则实数b的取值范围是 解析 令 2x 2 b 0 得 2x 2 b 由题意可知函数y 2x 2 与y b的图象有两个交点 结合函数图象可知 0 b 2 答案 0 2 3 已知函数f x 有3个零点 则实数a的取值范围是 解析 因为函数f x 有3个零点 所以当x 0时 方程ax 3 0有解 故a 0 所以当x 0时 需满足即0 a 1 综上 a的取值范围是 0 1 答案 0 1 热点题型2函数与方程的综合应用 感悟经典 典例 1 2018 烟台一模 已知x1 x2 x1 x2 是函数f x lnx 的两个零点 若a x1 1 b 1 x2 则 A f a 0 f b 0C f a 0 f b 0 2 已知函数f x 其中m 0 若存在实数b 使得关于x的方程f x b有三个不同的根 则m的取值范围是 联想解题 1 化函数零点为两个函数图象公共点 数形结合 2 看到含有参数的方程根的讨论问题 想到先画出函数的部分图象 再平移图象使得符合条件 从而构造参数的不等式求解 规范解答 1 选C 函数f x lnx 的零点即f x lnx 0 所以lnx 分别作出y lnx与y 的图象 如图所示 由图可知lna f a lna 0 lnb f b lnb 0 2 由题意画出函数图象为如图所示时才符合 要满足存在实数b 使得关于x的方程f x b有三个不同的根 必须且只需有4m m23 所以m的取值范围是 3 答案 3 规律方法 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 1 利用零点存在的判定定理构建不等式求解 2 分离参数后转化为求函数的值域 最值 问题求解 3 转化为两熟悉的函数图象的上 下关系问题 从而构建不等式求解 对点训练 1 设函数f x 若方程f x m有三个不同的实根 则实数m的取值范围为 A B C D 解析 选C 作出函数y f x 的图象 如图所示 当x 0时 f x x2 x 所以要使函数f x m有三个不同的零点 则 m 0 即m的取值范围为 2 已知函数f x log3x 若实数x0是方程f x 0的解 且x0 x1 则f x1 的值 A 恒为负B 等于零C 恒为正D 不大于零 解析 选A 由于函数f x log3x在定义域内是减函数 于是 若f x0 0 当x0 x1时 一定有f x1 0 提分备选 设函数f x log3 a在区间 1 2 内有零点 则实数a的取值范围是 解析 因为x 1 2 所以 2 3 log3 log32 1 故要使函数f x 在 1 2 内存在零点 只要a log32 1 即可 答案 log32 1 热点题型3函数的实际应用 感悟经典 典例 如图 现在要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通 环岛 以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm x不小于9 的扇形花坛 以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地 为 了保证道路畅通 岛口宽不小于60m 绕岛行驶的路宽均不小于10m 1 求x的取值范围 运算中取1 4 2 若中间草地的造价为a元 m2 四个花坛的造价为ax元 m2 其余区域的造价为元 m2 当x取何值时 可使 环岛 的整体造价最低 联想解题 1 看到求x的取值范围 想到列关于x的不等式 2 由整体造价最低 想到求函数的最小值 规范解答 1 由题意 得解得即9 x 15 故x的取值范围为 9 15 2 记 环岛 的整体造价为y元 则由题意 得y a ax x2 令f x x4 x3 12x2 则f x x3 4x2 24x 4x 由f x 0 解得x 10或x 15 列表如下 所以当x 10时 y取最小值 故当x 10时 可使 环岛 的整体造价最低 规律方法 与函数有关的应用题的常见类型及解题关键 1 常见类型 与函数有关的应用题 经常涉及物价 路程 产值 环保等实际问题 也可涉及角度 面积 体积 造价的最优化问题 2 解题关键 解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式 然后应用函数 方程 不等式和导数的有关知识加以综合解答 对点训练 1 2018 山东省实验诊断 将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中 tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y aent 假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等 若再过mmin甲桶中的水只有L 则m的值为 A 5B 8C 9D 10 解析 选A 因为5min后甲桶和乙桶的水量相等 所以函数y f t aent满足f 5 ae5n a 可得n ln 所以f t a 设kmin后甲桶中的水只有L 则f k a 所以 解得k 10 所以m k 5 5 min 2 某人想开一家服装专卖店 经过预算 该门面需要门面装修费为20000元 每天需要房租 水电等费用100元 受经营信誉度 销售季节等因素的影响 专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系式是R R x 则总利润最大时 该门面经营的天数是 A 100B 150C 200D 300 解析 选D 由题意知 总成本C 20000 100 x 所以总利润P R C 则P 所以P在 0 300 上单调递增 在 300 上单调递减 由题意易知当x 300时 总利润最大 提分备选 1 要制作一个容积为4m3 高为1m的无盖长方形容器 已知该容器的底面造价是每平方米20元 侧面造价是每平方米10元 则该容器的最低总造价是 单位 元 解析 假设底面长方形的长宽分别为x 则该容器的最低总造价是y 80 20 x 160 当且仅当x 2时取到最小值 答案 160 2 如图所示 将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN 要求M在AB的延长线上 N在AD的延长线上 且对角线MN过C点 已知AB 3米 AD 2米 设AN x 单位 米 1 要使花坛AMPN的面积大于32平方米 求x的取值范围 2 若x 3 4 单位 米 则当AM AN的长度分别是多少时 花坛AMPN的面积最大 并求出最大面积 解析 1 因为 NDC NAM 所以 所以AM 所以SAMPN AN AM 依题意可得 32 3x2 32x 64 0 x 0 解得 x 8 2 设f x x 3 4 所以f x 3 3 设t x 2 则t 1 2 则y 3 根据对勾函数可得 t 1时 y达到最大值 即y 27 此时t 1 x 3 所以AN 3 AM 9 答 当AN 3 AM 9时 四边形AMPN的面积最大 为27平方米 3 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱 它已经成为学生们课外学习的一种趋势 假设某网校的套题每日的销售量y 单位 千套 与销售价格 x 单位 元 套 满足的关系式为y 其中2 x 6 m为常数 已知销售价格为4元 套时 每日可售出套题21千套 1 求m的值 2 假设网校的员工工资 办公等所有开销折合为每套题2元 只考虑销售出的套数 试确定销售价格x的值 使网校每日销售套题所获得的利润最大 保留1位小数 解析 1 将x 4 y 21代入关系式可得 21 4 m 10 2 依题意所获利润f x x 2 y 化简可得 f x 4x3 56x2 240 x 278 2 x 6 所以f x 12x2 112x 240 4 3x 10 x 6 令f x 0 即解不等式 3x 10 x 6 0 因为2 x 6 所以解得x 所以f x 在单调递增 在单调递减 所以f x 在x 取得最大值 即x 3 3 4 如图 某海滨浴场的岸边可近似地看成直线 位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救 救生员没有直接从A处游向B处 而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处 然后游向B处 若救生员在岸边的行进速度为6米 秒 在海中的行进速度为2米 秒 BAD 45 1 分析救生员的选择是否正确 2 在AD上找一点C 使救生员从A到B的时间为最短 并求出最短时间 解析 1 从题干图形可得 AB 300 所以t1 150 秒 而 AD BD 300 所以t2 200 秒 因为t1 t2 所以救生员的选择是正确的 2 设 CD x 则 BC 设所用时间为f x 所以f x 所以f x 令f x 0 即解不等式3x 0 3x 所以9x2 3002 x2 所以x2 解得 x 75 所以f x 在单调递减 在单调递增 所以f f 50 100 秒 答 当 CD 75时 救生员所用的时间最短 为50 100秒 直观想象 函数的零点问题中的数学素养 相关链接 1 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征 用联系和变化的观点提取数学对象 抽象其数学特征 建立各变量之间固有的函数关系 通过函数形式 利用函数的有关性质 使问题得到解决 2 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数 用它表示问题中的其他各量 根据题中隐含的等量关系 列方程 组 通过解方程 组 或对方程 组 进行研究 以求得问题的解决 3 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的 是相辅相成的 函数思想重在对问题进行动态的研究 方程思想则是在动中求静 研究运动中的等量关系 4 利用函数与方程思想能解决的函数零点问题的常见类型是 1 判断零点个数 2 求零点所在区间 3 求参数值或范围问题 典例 2018 济南一模 已知函数f x 是定义在R上的偶函数 且f x 1 f x 1 当x 1 0 时 f x x3 则关于x的方程f x cos x 在上的所有实数解之和为 A 7B 6C 3D 1 规范解答 选A 因为函数f x 为偶函数 所以f x 1 f x 1 f x 1 即f x f x 2 所以函数f x 的周期为2 又当x 1 0 时 f x x3 由此在同一平面直角坐标系内作出函数y f x 与y cos x 的图象 如图所示 由图知关于x的方程f x cos x 在上的实数解有7个 不妨设x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 则由图 得x1 x2 4 x3 x5 2 x4 1 x6 x7 0 所以方程f x cos x 在上的所有实数解的和为 4 2 1 0 7 通关题组 1 函数f x mx2 2x 1有且仅有一个为正实数的零点 则实数m的取值范围是 A 1 B 0 1 C 0 0 1 D 1 解析 选B 当m 0时 x 为函数的零点 当m 0时 若 0 即m 1时 x 1是函数唯一的零点 若 0 显然函数x 0不是函数的零点 这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2 2x 1 0有一个正根和一个负根 即mf 0 0 即m 0 2 已知函数f x 若关于x的方程f x k有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 解析 f x 的图象如图所示 由图象可知若使f x 的图象与y k有两个不同交点 则有0 k 1 答案 0 1