高考数学大一轮复习 8.6立体几何中的向量方法（一）-证明平行与垂直课件 理 苏教版.ppt

8 6立体几何中的向量方法 一 证明平行与垂直 第八章立体几何 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 直线的方向向量与平面的法向量的确定 1 直线的方向向量 在直线上任取一向量作为它的方向向量 2 平面的法向量可利用方程组求出 设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 非零 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 3 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 v1 v2 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 v u u1 u2 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 v1 v2 v1 v2 0 v u u1 u2 u1 u2 0 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 平面的单位法向量是唯一确定的 3 若两平面的法向量平行 则两平面平行 4 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 5 若a b 则a所在直线与b所在直线平行 6 若空间向量a平行于平面 则a所在直线与平面 平行 l 或l 2 3 4 解析 解析 思维升华 思维点拨 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 证明线面平行 可以利用判定定理先证线线平行 也可利用平面的法向量 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 解析 思维升华 思维点拨 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 证明方法一如图 取BD的中点O 以O为原点 OD OP所在射线为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系O xyz 设点C的坐标为 x0 y0 0 解析 思维升华 思维点拨 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 解析 思维升华 思维点拨 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 又PQ 平面BCD 所以PQ 平面BCD 方法二在线段CD上取点F 使得DF 3FC 连结OF 同证法一建立空间直角坐标系 写出点A B C的坐标 设点C坐标为 x0 y0 0 解析 思维升华 思维点拨 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 解析 思维升华 思维点拨 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 又PQ 平面BCD OF 平面BCD PQ 平面BCD 解析 思维升华 思维点拨 用向量证明线面平行的方法有 1 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 2 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 3 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 题型一证明平行问题 例1 2013 浙江改编 如图 在四面体A BCD中 AD 平面BCD BC CD AD 2 BD 2 M是AD的中点 P是BM的中点 点Q在线段AC上 且AQ 3QC 证明 PQ 平面BCD 解析 思维升华 思维点拨 跟踪训练1 2014 湖北 如图 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别是棱AB AD A1B1 A1D1的中点 点P Q分别在棱DD1 BB1上移动 且DP BQ 0 2 1 当 1时 证明 直线BC1 平面EFPQ 2 是否存在 使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 方法一 1 证明如图 1 连结AD1 由ABCD A1B1C1D1是正方体 知BC1 AD1 当 1时 P是DD1的中点 又F是AD的中点 所以FP AD1 所以BC1 FP 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直线BC1 平面EFPQ 图 1 2 解如图 2 连结BD 因为E F分别是AB AD的中点 又DP BQ DP BQ 所以四边形PQBD是平行四边形 故PQ BD 且PQ BD 图 2 在Rt EBQ和Rt FDP中 因为BQ DP BE DF 1 于是EQ FP 所以四边形EFPQ是等腰梯形 同理可证四边形PQMN是等腰梯形 分别取EF PQ MN的中点为H O G 连结OH OG 则GO PQ HO PQ 而GO HO O 故 GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角 若存在 使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角 则 GOH 90 连结EM FN 则由EF MN 且EF MN 知四边形EFNM是平行四边形 连结GH 因为H G分别是EF MN的中点 所以GH ME 2 由OG2 OH2 GH2 方法二以D为原点 射线DA DC DD1分别为x y z轴的正半轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系D xyz 图 3 由已知得B 2 2 0 C1 0 2 2 E 2 1 0 F 1 0 0 P 0 0 M 2 1 2 N 1 0 2 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直线BC1 平面EFPQ 2 解设平面EFPQ的一个法向量为n x y z 于是可取n 1 同理可得平面PQMN的一个法向量为m 2 2 1 若存在 使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角 则m n 2 2 1 1 0 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 解析 思维升华 思维点拨 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义 即证线与平面内的任意一条直线垂直 也可以证线与面的法向量平行 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 解析 思维升华 思维点拨 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m 并且 a b c 2 a b a c 0 b c 2 以它们为空间的一个基底 解析 思维升华 思维点拨 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 解析 思维升华 思维点拨 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 方法二如图所示 取BC的中点O 连结AO 因为 ABC为正三角形 所以AO BC 因为在正三棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC 平面BCC1B1 所以AO 平面BCC1B1 解析 思维升华 思维点拨 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 取B1C1的中点O1 以O为原点 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设平面A1BD的法向量为n x y z 解析 思维升华 思维点拨 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 解析 思维升华 思维点拨 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 故AB1 平面A1BD 解析 思维升华 思维点拨 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 解析 思维升华 思维点拨 3 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 题型二证明垂直问题 例2如图所示 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 解析 思维升华 思维点拨 跟踪训练2如图所示 在四棱锥P ABCD中 PC 平面ABCD PC 2 在四边形ABCD中 B C 90 AB 4 CD 1 点M在PB上 PB 4PM PB与平面ABCD成30 角 1 求证 CM 平面PAD 证明以C为坐标原点 分别以CB所在直线为x轴 CD所在直线为y轴 CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz PC 平面ABCD PBC为PB与平面ABCD所成的角 PBC 30 令n x y z 为平面PAD的一个法向量 CM 平面PAD 2 求证 平面PAB 平面PAD PB AB BE PA 又PA DA A BE 平面PAD 又 BE 平面PAB 平面PAB 平面PAD 题型三解决探索性问题 例3如图 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于2 ABC和 A1AC均为60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求证 BD AA1 思维点拨 解析 题型三解决探索性问题 例3如图 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于2 ABC和 A1AC均为60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求证 BD AA1 思维点拨 解析 题型三解决探索性问题 例3如图 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于2 ABC和 A1AC均为60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求证 BD AA1 解设BD与AC交于点O 则BD AC 连结A1O 在 AA1O中 AA1 2 AO 1 A1AO 60 A1O AO 思维点拨 解析 思维点拨 解析 题型三解决探索性问题 例3如图 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于2 ABC和 A1AC均为60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求证 BD AA1 由于平面AA1C1C 平面ABCD A1O 平面ABCD 以OB OC OA1所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 思维点拨 解析 题型三解决探索性问题 例3如图 棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于2 ABC和 A1AC均为60 平面AA1C1C 平面ABCD 1 求证 BD AA1 思维点拨 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 思维点拨 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 解由于OB 平面AA1C1C 平面AA1C1C的一个法向量为n1 1 0 0 设n2 x y z 为平面DAA1D1的一个法向量 思维点拨 解析 思维点拨 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 取n2 1 1 则 n1 n2 即为二面角D A1A C的平面角 思维点拨 解析 例3 2 求二面角D A1A C的余弦值 所以 二面角D A1A C的余弦值为 思维点拨 解析 思维升华 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 思维点拨 解析 思维升华 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 思维点拨 解析 思维升华 解假设在直线CC1上存在点P 使BP 平面DA1C1 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 思维点拨 解析 思维升华 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 设n3 平面DA1C1 思维点拨 解析 思维升华 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 取n3 1 0 1 因为BP 平面DA1C1 思维点拨 解析 思维升华 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 即点P在C1C的延长线上 且C1C CP 思维点拨 解析 思维升华 例3 3 在直线CC1上是否存在点P 使BP 平面DA1C1 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 对于 是否存在 型问题的探索方式有两种 一种是根据条件作出判断 再进一步论证 另一种是利用空间向量 先设出假设存在点的坐标 再根据条件求该点的坐标 即找到 存在点 若该点坐标不能求出 或有矛盾 则判定 不存在 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3如图所示 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 P为侧棱SD上的点 1 求证 AC SD 证明连结BD 设AC交BD于点O 则AC BD 由题意知SO 平面ABCD 跟踪训练3如图所示 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 P为侧棱SD上的点 1 求证 AC SD 以O为坐标原点 所在直线分别为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系 如图 跟踪训练3如图所示 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 P为侧棱SD上的点 1 求证 AC SD 跟踪训练3如图所示 四棱锥S ABCD的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 P为侧棱SD上的点 1 求证 AC SD 故OC SD 从而AC SD 2 若SD 平面PAC 则侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 试说明理由 2 若SD 平面PAC 则侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 试说明理由 2 若SD 平面PAC 则侧棱SC上是否存在一点E 使得BE 平面PAC 若存在 求SE EC的值 若不存在 试说明理由 而BE不在平面PAC内 故BE 平面PAC 思想与方法系列14利用向量法解决立体几何问题 典例 14分 2014 课标全国 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 1 证明 PB 平面AEC 温馨提醒 规范解答 证明连结BD交AC于点O 连结EO 因为ABCD为矩形 所以O为BD的中点 又E为PD的中点 所以EO PB 因为EO 平面AEC PB 平面AEC 所以PB 平面AEC 温馨提醒 规范解答 1 利用向量法证明立体几何问题 可以建坐标系或利用基底表示向量 2 建立空间直角坐标系时 要根据题中条件找出三条互相垂直的直线 3 利用向量除了可以证明线线平行 垂直 线面 面面平行 垂直外 还可以利用向量求夹角 距离 从而解决线段长度问题 体积问题等 温馨提醒 规范解答 温馨提醒 规范解答 2 设二面角D AE C为60 AP 1 AD 求三棱锥E ACD的体积 解因为PA 平面ABCD 四边形ABCD为矩形 所以AB AD AP两两垂直 温馨提醒 规范解答 设B m 0 0 m 0 设n1 x y z 为平面ACE的法向量 温馨提醒 规范解答 又n2 1 0 0 为平面DAE的一个法向量 温馨提醒 规范解答 因为E为PD的中点 三棱锥E ACD的体积 温馨提醒 规范解答 1 利用向量法证明立体几何问题 可以建坐标系或利用基底表示向量 2 建立空间直角坐标系时 要根据题中条件找出三条互相垂直的直线 3 利用向量除了可以证明线线平行 垂直 线面 面面平行 垂直外 还可以利用向量求夹角 距离 从而解决线段长度问题 体积问题等 温馨提醒 规范解答 方法与技巧 1 用向量法解决立体几何问题 是空间向量的一个具体应用 体现了向量的工具性 这种方法可把复杂的推理证明 辅助线的作法转化为空间向量的运算 降低了空间想象演绎推理的难度 体现了由 形 转 数 的转化思想 2 两种思路 1 选好基底 用向量表示出几何量 利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断 2 建立空间坐标系 进行向量的坐标运算 根据运算结果的几何意义解释相关问题 失误与防范 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理 如要证明线面平行 只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 即化归为证明线线平行 用向量方法证明直线a b 只需证明向量a b R 即可 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 设平面 的法向量为a 1 2 2 平面 的法向量为b 2 h k 若 则h k的值为 h 4 k 4 h k 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 AB与平面CDE平行或在平面CDE内 平行或在平面内 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 已知A 4 1 3 B 2 5 1 C 3 7 5 则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是 所以x 5 y 13 z 3 即D 5 13 3 5 13 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 已知a 2 1 3 b 1 4 2 c 7 5 若a b c三向量共面 则实数 解析由题意得c ta b 2t t 4 3t 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AA1 AD 2 P为C1D1的中点 M为BC的中点 则AM与PM所成的角为 解析以D点为原点 分别以DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 答案90 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 已知平面 内的三点A 0 0 1 B 0 1 0 C 1 0 0 平面 的一个法向量n 1 1 1 则不重合的两个平面 与 的位置关系是 解析设平面 的法向量为m x y z m 1 1 1 m n m n 平行 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 设点C 2a 1 a 1 2 在点P 2 0 0 A 1 3 2 B 8 1 4 确定的平面上 则a 则 2a 1 a 1 2 x 1 3 2 y 6 1 4 x 6y 3x y 2x 4y 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 答案16 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 8 设u 2 2 t v 6 4 4 分别是平面 的法向量 若 则t 解析 u v u v 0 12 8 4t 0 t 5 5 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 如图 四边形ABCD为正方形 PD 平面ABCD PD QA QA AB PD 证明 平面PQC 平面DCQ 证明如图 以D为坐标原点 线段DA的长为单位长 射线DA DP DC分别为x轴 y轴 z轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又DQ DC D 故PQ 平面DCQ 又PQ 平面PQC 平面PQC 平面DCQ 10 如图 在底面是矩形的四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD E F分别是PC PD的中点 PA AB 1 BC 2 1 求证 EF 平面PAB 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 证明以A为原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴 AP所在直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 则A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 2 0 D 0 2 0 P 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又AB 平面PAB EF 平面PAB EF 平面PAB 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求证 平面PAD 平面PDC 又AP AD A DC 平面PAD DC 平面PDC 平面PAD 平面PDC 1 如图 正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直 AB AF 1 M在EF上 且AM 平面BDE 则M点的坐标为 解析设M点的坐标为 x y 1 AC BD O 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 15 2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 棱长为a M N分别为A1B和AC上的点 A1M AN 则MN与平面BB1C1C的位置关系是 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 MN 平面B1BCC1 答案平行 2 3 4 5 1 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P为正方形A1B1C1D1四边上的动点 O为底面正方形ABCD的中心 M N分别为AB BC的中点 点Q为平面ABCD内一点 线段D1Q与OP互相平分 则满足的实数 有 个 2 3 4 5 1 解析建立如图的坐标系 设正方体的边长为2 则P x y 2 O 1 1 0 又知D1 0 0 2 Q x 1 y 1 0 而Q在MN上 xQ yQ 3 x y 1 即点P坐标满足x y 1 有2个符合题意的点P 即对应有2个 答案2 2 3 4 5 1 4 如图所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 证明如图建立空间直角坐标系A xyz 令AB AA1 4 2 3 4 5 1 则A 0 0 0 E 0 4 2 F 2 2 0 B 4 0 0 B1 4 0 4 取AB中点为N 连结CN 则N 2 0 0 C 0 4 0 D 2 0 2 又 NC 平面ABC DE 平面ABC 故DE 平面ABC 2 3 4 5 1 2 B1F 平面AEF 又 AF EF F B1F 平面AEF 2 3 4 5 1 5 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD为正方形 PD DC E F分别是AB PB的中点 1 求证 EF CD 证明如图 分别以DA DC DP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设AD a 则D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 在平面PAD内求一点G 使GF 平面PCB 并证明你的结论 若使GF 平面PCB 则 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1