高考数学大一轮复习 12.3几何概型课件 理 苏教版.ppt

12 3几何概型 第十二章概率 随机变量及其概率分布 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 几何概型设D是一个可度量的区域 例如线段 平面图形 立体图形等 每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点 区域D内的每一点被取到的机会都 随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点 这时 事件A发生的概率与d的测度 长度 面积 体积等 成 与d的和无关 把满足这样条件的概率模型称为几何概型 一样 正比 形状 位置 2 在几何概型中 事件A的概率计算公式P A 3 几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有 2 等可能性 每个结果的发生具有 无限多个 等可能性 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在一个正方形区域内任取一点的概率是零 2 几何概型中 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一点被取到的机会相等 3 在几何概型定义中的区域可以是线段 平面图形 立体图形 4 与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关 5 从区间 1 10 内任取一个数 取到1的概率是P 0 18 由题意知 这是个几何概型问题 解析 S正 1 S阴 0 18 例1 1 在区间 1 1 上随机取一个数x 求cosx的值介于0到之间的概率 题型一与长度 角度有关的几何概型 解如图 由函数y cosx的图象知 例1 2 如图所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC内作射线AM交BC于点M 求BM 1的概率 解析 思维升华 解因为 B 60 C 45 所以 BAC 75 在Rt ABD中 AD B 60 所以BD 1 BAD 30 例1 2 如图所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC内作射线AM交BC于点M 求BM 1的概率 解析 思维升华 记事件N为 在 BAC内作射线AM交BC于点M 使BM 1 则可得 BAM BAD时事件N发生 例1 2 如图所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC内作射线AM交BC于点M 求BM 1的概率 解析 思维升华 几何概型有两个特点 一是无限性 二是等可能性 基本事件可以抽象为点 尽管这些点是无限的 但它们所占据的区域都是有限的 因此可用 比例解法 求解几何概型的概率 例1 2 如图所示 在 ABC中 B 60 C 45 高AD 在 BAC内作射线AM交BC于点M 求BM 1的概率 解析 思维升华 跟踪训练1 1 2014 湖南改编 在区间 2 3 上随机选取一个数X 则X 1的概率为 解析在区间 2 3 上随机选取一个数X 则X 1 即 2 X 1的概率为P 2 在半径为1的圆内的一条直径上任取一点 过这个点作垂直于直径的弦 则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 解析记事件A为 弦长超过圆内接等边三角形的边长 如图 不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦 当弦为CD时 就是等边三角形的边长 此时F为OE中点 弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF 由几何概型公式得 题型二与面积 体积有关的几何概型 思维点拨 解析 例2 1 设不等式组表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比 题型二与面积 体积有关的几何概型 例2 1 设不等式组表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 思维点拨 解析 如图所示 正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D 且区域D的面积为4 而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域 题型二与面积 体积有关的几何概型 例2 1 设不等式组表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 思维点拨 解析 易知该阴影部分的面积为4 因此满足条件的概率是 题型二与面积 体积有关的几何概型 例2 1 设不等式组表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 思维点拨 解析 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 有一个底面圆的半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比 例2 2 有一个底面圆的半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 有一个底面圆的半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 有一个底面圆的半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 有一个底面圆的半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法 用图解题的关键 用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域 由题意将已知条件转化为事 思维点拨 解析 思维升华 例2 2 有一个底面圆的半径为1 高为2的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 件A满足的不等式 在图形中画出事件A发生的区域 通用公式 P A 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练2 1 在区间 内随机取出两个数分别记为a b 则函数f x x2 2ax b2 2有零点的概率为 解析由函数f x x2 2ax b2 2有零点 可得 2a 2 4 b2 2 0 整理得a2 b2 2 如图所示 a b 可看成坐标平面上的点 试验的全部结果构成的区域为 a b a b 其面积S 2 2 4 2 事件A表示函数f x 有零点 所构成的区域为M a b a2 b2 2 即图中阴影部分 其面积为SM 4 2 3 答案 2 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 点O为底面ABCD的中心 在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 故点P到O的距离大于1的概率为1 思维点拨 解析 思维升华 例3甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 题型三生活中的几何概型问题 当基本事件受两个连续变量控制时 一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标 这样基本事件就构成了平面上的一个区域 即可借助平面区域解决 例3甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 题型三生活中的几何概型问题 思维点拨 解析 思维升华 解这是一个几何概型问题 设甲 乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y A为 两船都不需要等待码头空出 则0 x 24 0 y 24 要使两船都不需要等待码头空出 当且仅当甲比乙早到达1h以 例3甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 题型三生活中的几何概型问题 思维点拨 解析 思维升华 上或乙比甲早到达2h以上 即y x 1或x y 2 故所求事件构成集合A x y y x 1或x y 2 x 0 24 y 0 24 例3甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 题型三生活中的几何概型问题 思维点拨 解析 思维升华 A为图中阴影部分 全部结果构成集合 为边长是24的正方形及其内部 例3甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 题型三生活中的几何概型问题 思维点拨 解析 思维升华 例3甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 题型三生活中的几何概型问题 思维点拨 解析 思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法 1 审题 通过阅读题目 提炼相关信息 2 建模 利用相关信息的特征 建立概率模型 3 解模 求解建立的数学模型 4 结论 将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论 例3甲 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头 它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 如果甲船停泊时间为1h 乙船停泊时间为2h 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 题型三生活中的几何概型问题 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3 2014 重庆 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作答 解析在平面直角坐标系中画出由小王 x 和小张 y 到校的时间对应的点 x y 所构成的平面区域 再画出小张比小王至少早到5分钟对应的点 x y 所构成的平面区域 计算出两区域的面积 利用几何概型的概率公式计算即可 设小王到校时间为x 小张到校时间为y 则小张比小王至少早到5分钟时满足x y 5 如图 原点O表示7 30 在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域 图中正方形区域 该正方形区域的面积为400 小张比小王至少早到5分钟对应的图形 图中阴影部分 的面积为 15 15 故所求概率P 答案 典例 在长度为1的线段上任取两点 将线段分成三段 试求这三条线段能构成三角形的概率 易错警示系列17混淆长度型与面积型几何概型致误 温馨提醒 规范解答 易错分析 易错分析 温馨提醒 不能正确理解题意 无法找出准确的几何度量来计算概率 规范解答 解设x y表示三段长度中的任意两个 因为是长度 所以应有0 x 1 0 y 1 0 x y 1 即 x y 对应着坐标系中以 0 1 1 0 和 0 0 为顶点的三角形内的点 如图所示 要形成三角形 由构成三角形的条件知 易错分析 温馨提醒 规范解答 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的 故这三条线段能构成三角形的概率为 易错分析 温馨提醒 规范解答 解决几何概型问题的易误点 1 不能正确判断事件是古典概型还是几何概型 导致错误 2 利用几何概型的概率公式时 忽视验证事件是否具有等可能性 导致错误 易错分析 温馨提醒 规范解答 方法与技巧 1 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个 2 转化思想的应用对一个具体问题 可以将其几何化 如建立坐标系将试验结果和点对应 然后利用几何概型概率公式 1 一般地 一个连续变量可建立与长度有关的几何概型 只需把这个变量放在坐标轴上即可 方法与技巧 2 若一个随机事件需要用两个变量来描述 则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件 然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型 3 若一个随机事件需要用三个连续变量来描述 则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件 利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型 失误与防范 1 准确把握几何概型的 测度 是解题关键 2 几何概型中 线段的端点 图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2014 陕西改编 从正方形四个顶点及其中心这5个点中 任取2个点 则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析取两个点的所有情况为10种 所有距离不小于正方形边长的情况有6种 概率为 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 在区间 1 4 内取一个数x 则2 的概率是 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 解析不等式2 可化为x2 x 2 0 则 1 x 2 4 已知 ABC中 ABC 60 AB 2 BC 6 在BC上任取一点D 则使 ABD为钝角三角形的概率为 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 解析如图 当BE 1时 AEB为直角 则点D在线段BE 不包含B E点 上时 ABD为钝角三角形 当BF 4时 BAF为直角 则点D在线段CF 不包含C F点 上时 ABD为钝角三角形 所以 ABD为钝角三角形的概率为 5 如图 在圆心角为直角的扇形OAB中 分别以OA OB为直径作两个半圆 在扇形OAB内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率是 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 解析设分别以OA OB为直径的两个半圆交于点C OA的中点为D 如图 连结OC DC 不妨令OA OB 2 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 则OD DA DC 1 所以整体图形中空白部分面积S2 2 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 又因为S扇形OAB 22 所以阴影部分面积为S3 2 答案 6 已知集合A n Z 若从A中任取一个元素均可作为直线l的倾斜角 则直线的斜率小于零的概率是 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 7 2013 湖北 在区间 2 4 上随机地取一个数x 若x满足 x m的概率为 则m 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 解析由 x m 得 m x m 当m 2时 由题意得 解得m 2 5 矛盾 舍去 当2 m 4时 由题意得 解得m 3 即m的值为3 3 8 在区间 1 5 和 2 4 上分别各取一个数 记为m和n 则方程 1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是 2 3 4 5 6 7 9 10 1 8 解析 方程 1表示焦点在x轴上的椭圆 m n 2 3 4 5 6 7 9 10 1 8 如图 由题意知 在矩形ABCD内任取一点Q m n 点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率 易知直线m n恰好将矩形平分 所求的概率为P 9 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一点 若此点到圆心的距离大于 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 则去打篮球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 10 已知向量a 2 1 b x y 1 若x y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为1 2 3 4 5 6 先后抛掷两次时第一次 第二次出现的点数 求满足a b 1的概率 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 解将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次 所包含的基本事件总数为6 6 36 个 由a b 1有 2x y 1 所以满足a b 1的基本事件为 1 1 2 3 3 5 共3个 故满足a b 1的概率为 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 若x y在连续区间 1 6 上取值 求满足a b 0的概率 解若x y在连续区间 1 6 上取值 则全部基本事件的结果为 x y 1 x 6 1 y 6 满足a b 0的基本事件的结果为A x y 1 x 6 1 y 6且 2x y 0 画出图形如图 矩形的面积为S矩形 25 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 阴影部分的面积为S阴影 25 2 4 21 故满足a b 0的概率为 2 3 4 5 1 6 解析如图 平面区域 1就是三角形区域OAB 平面区域 2与平面区域 1的重叠部分就是区域OACD 答案 2 3 4 5 1 6 2 一个长方体空屋子 长 宽 高分别为5米 4米 3米 地面三个角上各装有一个捕蝇器 大小忽略不计 可捕捉距其一米空间内的苍蝇 若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入 并在房间内盘旋 则苍蝇被捕捉的概率是 解析屋子的体积为5 4 3 60米3 3 4 5 1 6 2 答案 3 4 5 1 6 2 3 已知点A在坐标原点 点B在直线y 1上 点C 3 4 若AB 则 ABC的面积大于5的概率是 解析设B x 1 根据题意知点D 1 2 4 5 1 6 3 2 4 5 1 6 3 4 在面积为S的 ABC内部任取一点P PBC的面积大于的概率为 解析如图 假设当点P落在EF上时 EF BC 恰好满足 PBC的面积等于 2 3 5 1 6 4 5 平面内有一组平行线 且相邻平行线间的距离为3cm 把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面内 则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 解析如图所示 当硬币中心落在阴影区域时 硬币不与任何一条平行线相碰 故所求概率为 2 3 4 1 6 5 6 设f x 和g x 是定义在同一区间上的两个函数 若对任意x 1 2 都有 f x g x 8 则称f x 和g x 是 友好函数 设f x ax g x 1 若a 1 4 b 1 1 4 求f x 和g x 是 友好函数 的概率 2 3 4 5 1 6 解设事件A表示f x 和g x 是 友好函数 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 2 若a 1 4 b 1 4 求f x 和g x 是 友好函数 的概率 解设事件B表示f x 和g x 是 友好函数 a是从区间 1 4 中任取的数 b是从区间 1 4 中任取的数 点 a b 所在的区域是长为3 宽为3的矩形区域 要使x 1 2 时 f x g x 8恒成立 需f 1 g 1 a b 8且f 2 g 2 2a 8 2 3 4 5 1 6 事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分 矩形区域的面积S 3 3 9 2 3 4 5 1 6