高考数学复习 第十二章 几何证明选讲课件 理.ppt

知识点一相似三角形与比例线段 1 平行线等分线段定理 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 2 推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 2 平行线分线段成比例定理 1 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 3 相似三角形 1 相似三角形的判定 判定定理定理1 两角对应相等 两三角形相似 定理2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 定理3 三边对应成比例 两三角形相似 引理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 相似三角形的性质 相似三角形对应边上的高 中线 对应角平分线和它们周长的比都等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 3 直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 知识点二直线与圆的位置关系1 圆周角定理与圆心角定理 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 2 圆心角定理定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 2 圆的切线 1 切线的性质及判定 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 3 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 3 圆内接四边形的性质与判定 1 性质定理定理1 圆的内接四边形的对角互补 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 2 判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 4 与圆有关的成比例线段 方法1相似三角形的判定与性质 1 已知有一角相等时 可选择判定定理1与判定定理2 2 已知有两边对应成比例时 可选择判定定理2与判定定理3 3 判定两个直角三角形相似时 首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定 如不能 再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定 例1 如图 梯形ABCD内接于 O AD BC 过点C作 O的切线 交BD的延长线于点P 交AD的延长线于点E 1 求证 AB2 DE BC 2 若BD 9 AB 6 BC 9 求切线PC的长 解题指导 一般地 证明等积式成立时 可先将其转化成比例式 再根据三角形相似证明其成立 1 证明 AD BC AB CD EDC BCD 又PC与 O相切 ECD DBC 点评 判定两个三角形相似的几种方法 两角对应相等 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 相似三角形的定义 方法2与圆有关的定理的应用判定圆的切线的方法以及切线定理的应用 1 判定切线通常有三种方法 和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线 到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 2 已知圆的切线时 第一要考虑过切点和圆心的连线得直角 第二应考虑弦切角定理 第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理 例2 如图 AB是 O的直径 C F为 O上的点 AC是 BAF的平分线 过点C作CD AF交AF的延长线于D点 CM AB 垂足为点M 1 求证 DC是 O的切线 2 求证 AM MB DF DA 解题指导 本题主要考查圆的切线定义及切割线定理的应用 解题 1 的关键是根据切线的定义证明OC CD 解题 2 的关键是根据割线定理及切割线定理得到等量关系 证明 1 如图 连接OC OA OC OCA OAC 又 AC是 BAF的平分线 DAC OAC DAC OCA AD OC 又CD AD OC CD 即DC是 O的切线 2 AC是 BAF的平分线 CDA CMA 90 AC AC ACD ACM CD CM 由 1 知DC2 DF DA 又CM2 AM MB AM MB DF DA 点评 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 常利用圆周角或弦切角证明三角形相似 在相似三角形中寻找比例线段 也可以利用相交弦定理 切割线定理证明线段成比例 在实际应用中 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时要注意应用切割线定理 方法3几何证明问题 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 4 如果两个三角形有公共边 公共边所对的角相等 且在公共边的同侧 那么这两个三角形的四个顶点共圆 5 相交弦定理的逆定理 6 割线定理的逆定理 例3 如图 D E分别为 ABC的边AB AC上的点 且不与 ABC的顶点重合 已知AE的长为m AC的长为n AD AB的长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根 1 证明 C B D E四点共圆 2 若 A 90 且m 4 n 6 求C B D E所在圆的半径 解题指导 1 证明思路为连接DE ADE ACB ADE ACB C B D E四点共圆 2 利用平面几何的性质 设法寻求圆心位置 然后求得半径