高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第14讲 导数在函数中的应用课件 文.ppt

第14讲导数在函数中的应用 1 函数的单调性函数y f x 在 a b 内可导 则 1 若f x 0 则f x 在 a b 内单调递增 2 若f x 0 则f x 在 a b 内 单调递减 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法 一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那 么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程f x 0的根的左 右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极小值 3 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小 值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各 与端点值比较 其中最大的 一个是最大值 最小的一个是最小值 极值 1 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与 最小值分别为M m 则M m 32 解析 由题意 得f x 3x2 12 令f x 0 得x 2 又f 3 17 f 2 24 f 2 8 f 3 1 所以M 24 m 8 M m 32 2 2013年广东广州二模 已知e为自然对数的底数 函数 y xex的单调递增区间是 A 1 C 1 B 1 D 1 A D 4 2014年新课标 函数f x 在x x0处导数存在 若p f x0 0 q x x0是f x 的极值点 则 C A p是q的充分必要条件B p是q的充分条件 但不是q的必要条件C p是q的必要条件 但不是q的充分条件D p既不是q的充分条件 也不是q的必要条件解析 若x x0是f x 的极值点 则f x0 0 若f x0 0 而x x0不一定是f x 的极值点 如f x x3 当x 0时 f 0 0 但x 0不是极值点 故p是q的必要条件 但不是q的充分条件 故选C 考点1 函数的单调性 例1 2014年大纲 函数f x ax3 3x2 3x a 0 1 讨论函数f x 的单调性 2 若函数f x 在区间 1 2 是增函数 求a的取值范围 解 1 f x 3ax2 6x 3 f x 3ax2 6x 3 0的判别式 36 1 a 当a 1时 则f x 0 且f x 0当且仅当a 1 x 1 故此时f x 在R上是增函数 当0 a 1时 则当x x2 或x x1 时 f x 0 故f x 在 x2 x1 上是增函数 当x x2 x1 时 f x 0 故f x 在 x2 x1 上是减函数 当a 0时 则当x x1 或x x2 时 f x 0 故f x 在 x1 x2 上是减函数 当x x1 x2 时 f x 0 故f x 在 x1 x2 上是增函数 2 当a 0 x 0时 f x 0 所以当a 0时 f x 在区间 1 2 是增函数 当a 0时 f x 在区间 1 2 是增函数当且仅当f 1 0 综上所述 a的取值范围是 0 规律方法 求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个 这些区间之间一般不能用并集符号 连接 只能用 或 和 字隔开 且f 2 0 解得 a 0 互动探究 A 1 函数f x x2 2lnx的单调递减区间是 A 0 1 B 1 C 1 D 1 1 时f x 0 f x 为减函数 当x 1 时 f x 0 f x 为增函数 故f x 的单调递减区间为 0 1 考点2 函数的最值 例2 2013年新课标 已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 4x 4 1 求a b的值 2 讨论f x 的单调性 并求f x 的极大值 解 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知 得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 从而a 4 b 4 规律方法 1 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 确定函数f x 的定义域 求f x 令f x 0 求出它在定义域内的一切实根 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判 定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 2 可导函数极值存在的条件 可导函数的极值点x0一定满足f x0 0 但当f x1 0时 x1不一定是极值点 如f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 互动探究 2 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 则点 a b 为 B A 3 3 C 3 3 或 4 11 B 4 11 D 不存在 考点3 函数的最值 例3 2014年江西 已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 当a 4时 求f x 的单调递增区间 2 若f x 在区间 1 4 上的最小值为8 求a的值 解 1 定义域 0 综上所述 a 10 规律方法 1 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 2 已知函数的最值求参数 一般先用参数表示出最值 再列方程求解参数 互动探究 3 函数f x x3 3x 1 若对于区间 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 则实数t的最小值是 A A 20 B 18 C 3 D 0 解析 因为f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 可知 1 1为函数的极值点 又f 3 19 f 1 1 f 1 3 f 2 1 所以在区间 3 2 上f x max 1 f x min 19 由题设知在区间 3 2 上f x max f x min t 从而t 20 所以t的最小值是20 思想与方法 运用分类讨论思想讨论函数的单调性 例题 2013年广东东莞一模 已知函数f x x2 ax blnx x 0 实数a b为常数 1 若a 1 b 1 求函数f x 的极值 2 若a b 2 讨论函数f x 的单调性 综上所述 当b 0时 函数f x 的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 当b 2时 函数f x 的单调递增区间为 0 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必 须在函数的定义域内进行 2 利用导数研究函数的单调性 极值 最值可列表观察函 数的变化情况 直观而且条理 减少失分 3 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 4 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 一个函数在其定义域内最值是唯一的 可以在区间的端点取得 5 求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个 这些区间之间一般不能用并集符号 连接 只能用 或 和 字隔开 6 f x 0 或f x 0 是 函数f x 在某区间上为增函数 或减函数 的充分不必要条件 f x0 0 是 函数f x 在x x0处取得极值 的必要不充分条件