高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 直接证明与间接证明课件 理.ppt

第十三章推理与证明 算法 复数 13 2直接证明与间接证明 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 直接证明 1 综合法 定义 从出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法常称为综合法 思维过程 由因导果 已知条件 知识梳理 1 答案 2 分析法 定义 从出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止 这种证明方法常称为分析法 思维过程 执果索因 问题的结论 答案 2 间接证明 1 反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明的证明方法 2 反证法的步骤 反设 假设命题的结论不成立 即假定原结论的反面为真 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 不成立 矛盾 原命题 成立 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 思考辨析 答案 1 已知点An n an 为函数y 图象上的点 Bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n N 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 则cn随n的增大而减小 cn 1 cn cn 1 cn 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 用反证法证明 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理数根 那么a b c中至少有一个是偶数 用反证法证明时 下列假设正确的是 假设a b c都是偶数 假设a b c都不是偶数 假设a b c至多有一个偶数 假设a b c至多有两个偶数 解析 至少有一个 的否定为 都不是 故 正确 解析答案 1 2 3 4 5 3 要证a2 b2 1 a2b2 0只要证明 填正确的序号 2ab 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 解析a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 a 0 b 0且a b 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 在 ABC中 三个内角A B C的对边分别为a b c 且A B C成等差数列 a b c成等比数列 则 ABC的形状为 三角形 解析由题意2B A C 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac a2 c2 2ac 0 即 a c 2 0 a c ABC为等边三角形 等边 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类深度剖析 例1对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 1 若函数f x 为理想函数 证明 f 0 0 证明取x1 x2 0 则x1 x2 0 1 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 又对任意的x 0 1 总有f x 0 f 0 0 于是f 0 0 题型一综合法的应用 解析答案 解析答案 思维升华 解对于f x 2x x 0 1 f 1 2不满足新定义中的条件 f x 2x x 0 1 不是理想函数 对于f x x2 x 0 1 显然f x 0 且f 1 1 任意的x1 x2 0 1 x1 x2 1 f x1 x2 f x1 f x2 即f x1 f x2 f x1 x2 f x x2 x 0 1 是理想函数 对任意的x1 x2 0 1 x1 x2 1 解析答案 思维升华 即f2 x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 x2 f x1 f x2 不满足条件 解析答案 思维升华 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 思维升华 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 证明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设知 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 跟踪训练1 解析答案 解析答案 题型二分析法的应用 解析答案 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 解析答案 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 1 引申探究 解析答案 思维升华 因此只要证明 x1 x2 x1 x2 即证明 因此只要证明 由于x1 x2 R时 由基本不等式知 显然成立 故原结论成立 思维升华 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 思维升华 解析答案 跟踪训练2 而上述不等式显然成立 故原不等式成立 命题点1证明否定性命题 例3已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足an Sn 2 1 求数列 an 的通项公式 解当n 1时 a1 S1 2a1 2 则a1 1 又an Sn 2 所以an 1 Sn 1 2 题型三反证法的应用 解析答案 2 求证 数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列 证明反证法 假设存在三项按原来顺序成等差数列 所以2 2r q 2r p 1 又因为p q r 且p q r N 所以r q r p N 所以 式左边是偶数 右边是奇数 等式不成立 所以假设不成立 原命题得证 解析答案 命题点2证明存在性问题 例4若f x 的定义域为 a b 值域为 a b a b 则称函数f x 是 a b 上的 四维光军 函数 解析答案 所以函数在区间 1 b 上单调递增 由 四维光军 函数的定义可知 g 1 1 g b b 因为b 1 所以b 3 解得a b 这与已知矛盾 故不存在 解析答案 命题点3证明唯一性命题 例5已知M是由满足下述条件的函数构成的集合 对任意f x M 方程f x x 0有实数根 函数f x 的导数f x 满足0 f x 1 解 当x 0时 f 0 0 所以方程f x x 0有实数根为0 解析答案 2 集合M中的元素f x 具有下面的性质 若f x 的定义域为D 则对于任意 m n D 都存在x0 m n 使得等式f n f m n m f x0 成立 试用这一性质证明 方程f x x 0有且只有一个实数根 证明假设方程f x x 0存在两个实数根 则f 0 f 0 不妨设 根据题意存在c 满足f f f c 因为f f 且 所以f c 1 与已知0 f x 1矛盾 又f x x 0有实数根 所以方程f x x 0有且只有一个实数根 解析答案 思维升华 应用反证法证明数学命题 一般有以下几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相反的假设綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知矛盾 与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 思维升华 1 求数列 an 的通项an与前n项和Sn 跟踪训练3 解析答案 解析答案 返回 假设不成立 即数列 bn 中任意不同的三项都不可能成等比数列 返回 思想与方法系列 1 当点B的坐标为 0 1 且四边形OABC为菱形时 求AC的长 2 当点B在W上且不是W的顶点时 证明 四边形OABC不可能为菱形 思维点拨 1 根据菱形对角线互相垂直平分及点B的坐标设出点A的坐标 代入椭圆方程求得点A的坐标 后求AC的长 2 将直线方程代入椭圆方程求出AC的中点坐标 即OB的中点坐标 判断直线AC与OB是否垂直 思想与方法系列 23 反证法在证明题中的应用 解析答案 返回 温馨提醒 思维点拨 规范解答 1 解因为四边形OABC为菱形 则AC与OB相互垂直平分 由于O 0 0 B 0 1 2 证明假设四边形OABC为菱形 因为点B不是W的顶点 且AC OB 所以k 0 解析答案 温馨提醒 设A x1 y1 C x2 y2 因为M为AC和OB的交点 且m 0 k 0 所以OABC不是菱形 与假设矛盾 13分 所以当点B不是W的顶点时 四边形OABC不可能是菱形 14分 温馨提醒 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 正确作出假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 3 利用反证法证明时 一定要回到结论上去 返回 温馨提醒 思想方法感悟提高 1 分析法的特点 从未知看需知 逐步靠拢已知 2 综合法的特点 从已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 方法与技巧 1 用分析法证明时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即证 只需证 等 逐步分析 直至一个明显成立的结论 2 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设的命题进行推理 如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若a b R 则下面四个式子中恒成立的是 填序号 lg 1 a2 0 a2 b2 2 a b 1 解析在 中 a2 b2 2 a b 1 a2 2a 1 b2 2b 1 a 1 2 b 1 2 0 a2 b2 2 a b 1 恒成立 解析答案 2 已知p3 q3 2 求证p q 2 用反证法证明时 可假设p q 2 已知a b R a b 1 求证方程x2 ax b 0的两根的绝对值都小于1 用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1 即假设 x1 1 以下正确的是 填字母 a 与 的假设都错误b 与 的假设都正确c 的假设正确 的假设错误d 的假设错误 的假设正确 解析反证法的实质是否定结论 对于 其结论的反面是p q 2 所以 不正确 对于 其假设正确 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 a b 0 a c 0 a b a c 0 a b a c 0 a c 2 ac0 a c 2a c 0 a c a b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 P2 Q2 P Q P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 设a b是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 但a2 故 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 推不出 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于 即a b 2 则a b中至少有一个大于1 反证法 假设a 1且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 a b中至少有一个大于1 答案 6 用反证法证明命题 a b R ab可以被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 那么假设的内容是 解析 至少有n个 的否定是 最多有n 1个 故应假设a b中没有一个能被5整除 a b中没有一个能被5整除 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一点c 使f c 0 则实数p的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明要证明2a3 b3 2ab2 a2b成立 只需证 2a3 b3 2ab2 a2b 0 即2a a2 b2 b a2 b2 0 即 a b a b 2a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 从而 a b a b 2a b 0成立 2a3 b3 2ab2 a2b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求证 SA 平面ABCD 证明由已知得SA2 AD2 SD2 SA AD 同理SA AB 又AB AD A SA 平面ABCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 在棱SC上是否存在异于S C的点F 使得BF 平面SAD 若存在 确定F点的位置 若不存在 请说明理由 解假设在棱SC上存在异于S C的点F 使得BF 平面SAD BC AD BC 平面SAD BC 平面SAD 而BC BF B 平面FBC 平面SAD 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾 假设不成立 不存在这样的点F 使得BF 平面SAD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则下列说法正确的是 A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形 A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形 A1B1C1是钝角三角形 A2B2C2是锐角三角形 A1B1C1是锐角三角形 A2B2C2是钝角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由条件知 A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0 则 A1B1C1是锐角三角形 假设 A2B2C2是锐角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 这与三角形内角和为180 相矛盾 所以假设不成立 又显然 A2B2C2不是直角三角形 所以 A2B2C2是钝角三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 f x sinx在区间 0 上是凸函数 且A B C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象与x轴有两个不同的交点 若f c 0 且00 证明 f x 的图象与x轴有两个不同的交点 f x 0有两个不等实根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0的根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 证明 20 c 0 b 1 又a 0 b 2 2 b 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求数列 an bn 的通项公式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 证明 数列 bn 中的任意三项不可能成等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 证明用反证法证明 假设数列 bn 存在三项br bs bt r s t 按某种顺序成等差数列 于是有br bs bt 则只能有2bs br bt成立 两边同乘以3t 121 r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 化简得3t r 2t r 2 2s r3t s 由于r s t 上式左边为奇数 右边为偶数 故上式不可能成立 导致矛盾 故数列 bn 中任意三项不可能成等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回