高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 理.ppt

第二章函数概念与基本初等函数I 2 3函数的奇偶性与周期性 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 函数的奇偶性 y轴 f x f x f x f x 原点 知识梳理 1 答案 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 f x T f x 存在一个最小 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 偶函数图象不一定过原点 奇函数的图象一定过原点 2 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 3 函数f x 在定义域上满足f x a f x 则f x 是周期为2a a 0 的周期函数 4 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 5 如果函数f x g x 为定义域相同的偶函数 则F x f x g x 是偶函数 6 若T是函数的一个周期 则nT n Z n 0 也是函数的周期 答案 思考辨析 解析对于 f x ex e x的定义域为R f x e x ex f x 故y ex e x为奇函数 y sinx 和y cosx为偶函数 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知f x 是定义在R上的奇函数 f x 1 是偶函数 则f 1 f 2 f 3 f 4 解析由f x 1 是偶函数得f x 1 f x 1 又f x 是定义在R上的奇函数 所以f x 1 f x 1 即 f x 1 f x 1 所以f x 2 f x 即f x f x 2 0 所以f 1 f 3 0 f 2 f 4 0 因此f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 解析答案 1 2 3 4 5 3 2015 天津 已知定义在R上的函数f x 2 x m 1 m为实数 为偶函数 记a f log0 53 b f log25 c f 2m 则a b c的大小关系为 解析由函数f x 2 x m 1为偶函数 得m 0 所以f x 2 x 1 当x 0时 f x 为增函数 log0 53 log23 所以log25 log23 0 所以b f log25 a f log0 53 c f 2m f 0 c a b 解析答案 1 2 3 4 5 解析函数的周期是2 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 则x0 f x x 1 x 又f x 为奇函数 f x f x x 1 x f x x 1 x x 1 x 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 题型一判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 解定义域为R 关于原点对称 又f x x 3 x x3 x x3 x f x 函数为奇函数 解析答案 函数定义域不关于原点对称 函数为非奇非偶函数 解析答案 解当x 0时 x0 f x x2 x f x x 2 x x2 x x2 x f x 对于x 0 0 均有f x f x 函数为奇函数 解析答案 思维升华 思维升华 1 利用定义判断函数奇偶性的步骤 2 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内x取值的任意性 应分段讨论 讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简 判断f x 与f x 的关系 得出结论 也可以利用图象作判断 1 设函数f x g x 的定义域都为R 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是 填序号 f x g x 是偶函数 f x g x 是奇函数 f x g x 是奇函数 f x g x 是奇函数 解析易知f x g x 定义域为R f x 是奇函数 g x 是偶函数 f x g x f x g x f x g x 为奇函数 跟踪训练1 解析答案 2 函数f x loga 2 x g x loga 2 x a 0且a 1 则函数F x f x g x G x f x g x 分别是 填奇偶性 解析F x G x 定义域均为 2 2 由已知F x f x g x loga 2 x loga 2 x F x G x f x g x loga 2 x loga 2 x G x F x 是偶函数 G x 是奇函数 偶函数 奇函数 解析答案 题型二函数的周期性 例2 1 定义在R上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2017 等于 解析答案 解析 f x 6 f x T 6 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x f 1 1 f 2 2 f 3 f 3 1 f 4 f 2 0 f 5 f 1 1 f 6 f 0 0 f 1 f 2 f 6 1 又f 2017 f 1 1 f 1 f 2 f 3 f 2017 337 答案337 故函数的周期为4 f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 由题意 得f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 2 5 解析答案 思维升华 思维升华 解析 f x 2 f x sin x f x sinx sinx f x f x 的周期T 2 又 当0 x 时 f x 0 跟踪训练2 解析答案 题型三函数性质的综合应用 命题点1函数奇偶性的应用 例3 1 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 则g 1 解析答案 解析 f x 是奇函数 f 1 f 1 又g x 是偶函数 g 1 g 1 f 1 g 1 2 g 1 f 1 2 又f 1 g 1 4 f 1 g 1 4 由 得g 1 3 答案3 即ln a x2 x2 0 a 1 1 解析f x 为偶函数 解析答案 命题点2单调性与奇偶性 周期性结合 解析 f x 是定义在R上的周期为3的偶函数 f 5 f 5 6 f 1 f 1 解得 1 a 4 1 4 解析答案 2 已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则f 25 f 11 f 80 的大小关系是 解析答案 思维升华 解析 f x 满足f x 4 f x f x 8 f x 函数f x 是以8为周期的周期函数 则f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 由f x 是定义在R上的奇函数 且满足f x 4 f x 得f 11 f 3 f 1 f 1 f x 在区间 0 2 上是增函数 f x 在R上是奇函数 f x 在区间 2 2 上是增函数 f 1 f 0 f 1 即f 25 f 80 f 11 答案f 25 f 80 f 11 思维升华 思维升华 1 关于奇偶性 单调性 周期性的综合性问题 关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题 2 掌握以下两个结论 会给解题带来方便 f x 为偶函数 f x f x 若奇函数在x 0处有意义 则f 0 0 1 若f x ln e3x 1 ax是偶函数 则a 解析函数f x ln e3x 1 ax是偶函数 故f x f x 即ln e 3x 1 ax ln e3x 1 ax 整理得e3x 1 e2ax 3x e3x 1 跟踪训练3 解析答案 2 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 4x 则不等式f x x的解集用区间表示为 解析答案 返回 解析 f x 是定义在R上的奇函数 f 0 0 又当x0 f x x2 4x 又f x 为奇函数 f x f x f x x2 4x x 0 解析答案 当x 0时 由f x x得x2 4x x 解得x 5 当x 0时 f x x无解 当xx得 x2 4x x 解得 5x的解集用区间表示为 5 0 5 答案 5 0 5 返回 易错警示系列 易错警示系列 2 忽视定义域致误 易错分析解题中忽视函数f x 的定义域 直接通过计算f 0 0得k 1 易错分析 解析答案 由f x f x 0可得k2 1 k 1 答案 1 易错分析本题易出现以下错误 由f 1 x2 f 2x 得1 x2 2x 忽视了1 x2 0导致解答失误 易错分析 解析答案 返回 温馨提醒 由图象可知 若f 1 x2 f 2x 温馨提醒 温馨提醒 返回 1 已知函数的奇偶性 利用特殊值确定参数 要注意函数的定义域 2 解决分段函数的单调性问题时 应高度关注 对变量所在区间的讨论 保证各段上同增 减 时 要注意左 右段端点值间的大小关系 弄清最终结果取并集还是交集 思想方法感悟提高 1 判断函数的奇偶性 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2 利用函数奇偶性可以解决以下问题 求函数值 求解析式 求函数解析式中参数的值 画函数图象 确定函数单调性 3 在解决具体问题时 要注意结论 若T是函数的周期 则kT k Z且k 0 也是函数的周期 的应用 方法与技巧 1 f 0 0既不是f x 是奇函数的充分条件 也不是必要条件 应用时要注意函数的定义域并进行检验 2 判断分段函数的奇偶性时 要以整体的观点进行判断 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇 偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析对于 函数y log2 x 是偶函数且在区间 1 2 上是增函数 对于 函数y cos2x在区间 1 2 上不是增函数 解析答案 g x 是奇函数 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 3 已知f x 在R上是奇函数 且满足f x 4 f x 当x 0 2 时 f x 2x2 则f 2019 解析 f x 4 f x f x 是以4为周期的周期函数 f 2019 f 504 4 3 f 3 f 1 又f x 为奇函数 f 1 f 1 2 12 2 即f 2019 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由题意知f x 为偶函数 所以f 2 f 2 又x 0 时 f x 为减函数 且3 2 1 f 3 f 2 f 1 即f 3 f 2 f 1 f 3 f 2 f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围是 解析 f x 是奇函数 当xf a 得2 a2 a 解得 2 a 1 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 设f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x x2 若对任意的x t t 2 不等式f x t 2f x 恒成立 则实数t的取值范围是 解析 当x 0时 f x x2 且f x 是定义在R上的奇函数 f x 在R上是增函数 x t t 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 已知定义在R上的偶函数f x 在 0 上单调递增 且f 1 0 则不等式f x 2 0的解集是 解析由已知可得x 2 1或x 2 1 解得x 3或x 1 所求解集是 1 3 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析依题意知 函数f x 为奇函数且周期为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 求实数m的值 解设x0 所以f x x 2 2 x x2 2x 又f x 为奇函数 所以f x f x 于是x 0时 f x x2 2x x2 mx 所以m 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若函数f x 在区间 1 a 2 上单调递增 求实数a的取值范围 解要使f x 在 1 a 2 上单调递增 所以1 a 3 故实数a的取值范围是 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 设f x 是定义在R上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 解 x 2 4 x 4 2 4 x 0 2 f 4 x 2 4 x 4 x 2 x2 6x 8 又f 4 x f x f x f x x2 6x 8 即f x x2 6x 8 x 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2016 解 f 0 0 f 1 1 f 2 0 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2012 f 2013 f 2014 f 2015 0 f 0 f 1 f 2 f 2016 f 2016 f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 11 已知f x 是定义域为 1 1 的奇函数 而且f x 是减函数 如果f m 2 f 2m 3 0 那么实数m的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 f x 是定义域为 1 1 的奇函数 10可转化为f m 2 f 2m 3 f m 2 f 2m 3 f x 是减函数 m 2 2m 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由 得a 2 b 4 从而a 3b 10 答案 10 解析因为f x 是定义在R上且周期为2的函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 已知f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点个数为 解析因为当0 x 2时 f x x3 x 又f x 是R上最小正周期为2的周期函数 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又f 1 0 所以f 3 f 5 0 故函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点个数为7 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 定义在R上的偶函数f x 满足f x 1 f x 且在 1 0 上是增函数 给出下列关于f x 的结论 f x 是周期函数 f x 的图象关于直线x 1对称 f x 在 0 1 上是增函数 f x 在 1 2 上是减函数 f 2 f 0 其中正确结论的序号是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析对于 f x 2 f x 1 f x f x 故2是函数f x 的一个周期 故 正确 对于 由于函数f x 是偶函数 且函数f x 是以2为周期的函数 则f 2 x f x 2 f x 即f 2 x f x 故函数f x 的图象关于直线x 1对称 故 正确 对于 由于函数f x 是偶函数且在 1 0 上是增函数 根据偶函数图象的性质可知 函数f x 在 0 1 上是减函数 故 错误 对于 由于函数f x 是以2为周期的函数且在 1 0 上为增函数 由周期函数的性质知 函数f x 在 1 2 上是增函数 故 错误 对于 由于函数f x 是以2为周期的函数 所以f 2 f 0 故 正确 综上所述 正确结论的序号是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 函数f x 的定义域为D x x 0 且满足对于任意x1 x2 D 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 解 对于任意x1 x2 D 有f x1 x2 f x1 f x2 令x1 x2 1 得f 1 2f 1 f 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 判断f x 的奇偶性并证明你的结论 解f x 为偶函数 证明 令x1 x2 1 有f 1 f 1 f 1 令x1 1 x2 x有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 如果f 4 1 f x 1 2 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 解依题设有f 4 4 f 4 f 4 2 由 2 知 f x 是偶函数 f x 1 2 f x 1 f 16 又f x 在 0 上是增函数 0 x 1 16 解之得 15 x 17且x 1 x的取值范围是 x 15 x 17且x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回